Exercício 2 - Considere os pontos A=(3,-12), B=(2,-9), C=(-3,1) e o vetor \vec{u}=(1,-5).
Determine a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r_{1} que contém A e tem vetor diretor \vec{u}.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r_{1} que passa por A=(3,-12) e tem vetor diretor \vec u=(1,-5). O conteúdo aqui é geometria analítica de retas no plano, usando a forma geral de reta dada por um ponto e um vetor diretor.

Passo 2

A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto \vec A e tem vetor diretor \vec u é
\vec r(t)=\vec A + t\,\vec u,\quad t\in\mathbb R.
Substituindo \vec A=\begin{pmatrix}3\\\ -12\end{pmatrix} e \vec u=\begin{pmatrix}1\\\ -5\end{pmatrix}, fica
\vec r(t)=\begin{pmatrix}3\\\ -12\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\\ -5\end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter as equações paramétricas, igualamos componente a componente de \vec r(t)=(x(t),y(t)). Assim,
x(t)=3+t,
y(t)=-12-5t.

Resposta

\vec r(t)=\begin{pmatrix}3\\\ -12\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\\ -5\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb R.
x=3+t,\quad y=-12-5t,\quad t\in\mathbb R.

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