Exercício 1. Considere os pontos A=(-1,1), E=(-1,5), I=(2,2), O=(0,0) e U=(1,-2).
i) Determine as retas over<=ftrightarrowA E e over<=ftrightarrowI O (isto é, quais condições os pontos devem satisfazer para estar em cada uma delas). Determine o ponto P1 na interseção destas duas retas.
ii) U in over<=ftrightarrowA E ? Se não, determine a reta r que passa por U e é paralela a over<=ftrightarrowA E. Determine P2 o ponto de interseção das retas r e over<=ftrightarrowI O.
iii) U in I O ? Se não, determine a reta s que passa por U e é paralela a over<=ftarrowI O. Determine P3 o ponto de interseção das retas s e over<=ftrightarrowA E.
iv) Os pontos P1, P2 e P3 são colineares?

Passo 1

Temos os pontos A=(-1,1), E=(-1,5), I=(2,2), O=(0,0) e U=(1,-2). O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar as equações das retas over<=ftrightarrowAE e over<=ftrightarrowIO e seu ponto de interseção P1.
  2. Verificar se U pertence a over<=ftrightarrowAE; caso não, construir a reta r por U paralela a over<=ftrightarrowAE e achar P2=rcapover<=ftrightarrowIO.
  3. Verificar se U pertence ao raio IO; caso não, construir a reta s por U paralela a over<=ftrightarrowIO e achar P3=scapover<=ftrightarrowAE.
  4. Testar se P1,P2,P3 são colineares.

Passo 2

A reta over<=ftrightarrowAE passa por A e E, ambos com x=-1. Logo
over<=ftrightarrowAE:;x=-1
A reta over<=ftrightarrowIO passa por I=(2,2) e O=(0,0); sua inclinação é
m=2-02-0=1,
então
over<=ftrightarrowIO:;y=x
Para o ponto P1=over<=ftrightarrowAEcapover<=ftrightarrowIO resolvemos x=-1 e y=x, obtendo
P1=(-1,-1)

Passo 3

O ponto U=(1,-2) não satisfaz x=-1, logo Unotinover<=ftrightarrowAE. A reta r por U paralela a over<=ftrightarrowAE é vertical com
r:;x=1
Sua interseção com over<=ftrightarrowIO:y=x x=1, y=1, ou seja
P2=(1,1)

Passo 4

O ponto U não está em IO (nem na reta y=x). A reta s por U paralela a over<=ftrightarrowIO tem o mesmo coeficiente angular 1, passando por (1,-2), logo
s:;y-(-2)=1,(x-1)Longrightarrow y=x-3
Para achar P3=scapover<=ftrightarrowAE impomos x=-1 em y=x-3, obtendo y=-4. Assim
P3=(-1,-4)

Passo 5

Para ver se P1(-1,-1), P2(1,1) e P3(-1,-4) são colineares, comparamos declives. De P1 a P2 o declive é
1-(-1)1-(-1)=22=1,
enquanto de P1 a P3 o denominador (x3-x1)=(-1)-(-1)=0 dá declive indefinido. Logo não são colineares.

Resposta

(i) over<=ftrightarrowAE:x=-1,;over<=ftrightarrowIO:y=x,;P1=(-1,-1)
(ii) Unotinover<=ftrightarrowAE. Reta r:x=1,;P2=(1,1)
(iii) UnotinIO. Reta s:y=x-3,;P3=(-1,-4)
(iv) P1,P2,P3 não são colineares.

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