Questão 2 Considere o conjunto
e as operações de somas em
definidas abaixo:
-
-
;
-
-
;
-
(i) Quais somas são comutativas?
(ii) Quais somas são associativas?
(i) Quais somas são comutativas?
(ii) Quais somas são associativas?
Passo 1
O enunciado define cinco operações de “soma” em
, nomeadas
, e pede (i) quais são comutativas e (ii) quais são associativas. Vamos usar as definições de comutatividade e associatividade para verificar cada caso.
Passo 2
Definições:
- Uma operação
é comutativa se, para todo , - Uma operação
é associativa se, para todo ,
Passo 3
Verificamos a comutatividade de cada “soma”:
:
logo é comutativa.
também é comutativa.
Em geral
, então não é comutativa.
é comutativa.
que é exatamente a multiplicação usual em
, portanto comutativa.
Passo 4
Verificamos a associatividade:
: é a adição usual em
, logo associativa.
:
e
, então associativa.
:
Definindo ,
,
,
Definindo
são iguais, logo associativa.
: é o produto componente-a-componente em
, herdando a associatividade de
.
: é a multiplicação usual em
, conhecida por ser associativa.
Resposta
(i) As somas comutativas são
.
(ii) Todas as cinco somas são associativas: .
(ii) Todas as cinco somas são associativas: