Questão 2 Considere o conjunto C=a+b i ; a in R e b in R e as operações de somas em C definidas abaixo:
  • (a+b i)+ 1(c+di):=(a+c)+(b+d) i ;
  • (a+b i)+2(c+di):=0+0 i;
  • (a+b i)+ 3(c+di):=a+d i ;
  • (a+b i)+ 4(c+di):=(a c)+(b d) i;
  • (a+b i)+5(c+di):=(a c-b d)+(b c+a d) i ;
    (i) Quais somas são comutativas?
    (ii) Quais somas são associativas?

Passo 1

O enunciado define cinco operações de “soma” em C=a+b,i;;a,binR, nomeadas +1,+2,+3,+4,+5, e pede (i) quais são comutativas e (ii) quais são associativas. Vamos usar as definições de comutatividade e associatividade para verificar cada caso.

Passo 2

Definições:
  • Uma operação oplus é comutativa se, para todo x,yin C, x oplus y = y oplus x
  • Uma operação oplus é associativa se, para todo x,y,zin C, (x oplus y)oplus z = x oplus (yoplus z)

Passo 3

Verificamos a comutatividade de cada “soma”:
+1:
(a+bi)+1(c+di) = (a+c)+(b+d)i = (c+a)+(d+b)i = (c+di)+1(a+bi),
logo é comutativa.
+2:
(a+bi)+2(c+di)=0+0,i = (c+di)+2(a+bi),
também é comutativa.
+3:
(a+bi)+3(c+di)=a+di, (c+di)+3(a+bi)=c+bi
Em geral a+dineq c+bi, então não é comutativa.
+4:
(a+bi)+4(c+di)=(ac)+(bd)i = (ca)+(db)i =(c+di)+4(a+bi),
é comutativa.
+5:
(a+bi)+5(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,
que é exatamente a multiplicação usual em C, portanto comutativa.

Passo 4

Verificamos a associatividade:
+1: é a adição usual em R^2, logo associativa.
+2:
(x+2y)+2z=0+2z=0 e
x+2(y+2z)=x+20=0, então associativa.
+3:
Definindo x=a+bi, y=c+di, z=e+fi,
(x+3y)+3z = (a+di)+3(e+fi) = a + fi,
x+3(y+3z) = x+3(c+fi) = a + fi,
são iguais, logo associativa.
+4: é o produto componente-a-componente em RtimesR, herdando a associatividade de R.
+5: é a multiplicação usual em C, conhecida por ser associativa.

Resposta

(i) As somas comutativas são +1,+2,+4,+5.
(ii) Todas as cinco somas são associativas: +1,+2,+3,+4,+5.

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