Exercício 4. Determine os valores de a e b de modo que as retas determinadas pelas equações a x-2 y-1=0 e 6 x-4 y-b=0 têm interseção:
a) um único ponto.
b) vazio.
c) mais de um ponto.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano cujas equações são
a x - 2y - 1 = 0 e 6x - 4y - b = 0
e pede condições sobre os parâmetros a e b para que essas retas tenham interseção (único ponto), interseção vazia ou mais de um ponto. O conteúdo aqui é geometria analítica de retas: duas retas não paralelas se cruzam em exatamente um ponto; se são paralelas distintas não têm ponto em comum; se coincidem têm infinitos pontos em comum.

Passo 2

Vamos primeiro pôr as retas como sistema linear em
O determinante dos coeficientes é
Quando (D\neq0], o sistema admite solução única, ou seja, as retas se cruzam em um único ponto.

Passo 3

A condição Dneq0 equivale a
12 - 4a neq 0 Long<=ftrightarrow a neq 3
Logo, se aneq3, as retas não são paralelas e têm exatamente um ponto de interseção, qualquer que seja b.

Passo 4

Se D=0, isto é a=3, as retas são paralelas ou coincidentes. Substituindo a=3 na primeira equação obtemos
3x - 2y - 1 = 0 Long<=ftrightarrow 6x - 4y = 2
e a segunda reta é
6x - 4y = b
Para serem coincidentes, os dois lados direitos devem coincidir, isto é, 2 = b. Se b=2 as equações são iguais e há infinitos pontos em comum. Se bneq2, as retas são paralelas distintas e não se intersectam (conjunto vazio).

Resposta

a) único ponto de interseção: a neq 3 (qualquer b).
b) interseção vazia: a = 3 e b neq 2.
c) mais de um ponto de interseção: a = 3 e b = 2.

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