Exercício 5. Considere o problema de condução de calor com condições de fronteira não homogêneas, ou seja, suponha que as extremidades são mantidas a temperaturas constantes T_{1}\) e \(T_{2}\) não nulas. O problema é matematicamente descrito por
\[\begin{cases}u_{t}=\alpha^{2} u_{x x}, & (0, L) \times(0, \infty) \\\ u(0, t)=T_{1}, \quad u(L, t)=T_{2}, & t \geq 0 \\\ u(x, 0)=f(x), & x \in[0, L]\end{cases}
c_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}\left[f(x)-\left(T_{2}-T_{1}\right) \frac{x}{L}-T_{1}\right] \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right) d x
Dica. Quando t \rightarrow \infty\], a solução \(u(x, t) se aproxima de uma distribuição estacionária de temperatura v(x). Como v(x) deve satisfazer a equação do calor, deduza que v(x)=\left(T_{2}-\right. \left.T_{1}\right) \frac{x}{L}+T_{1}. Agora, supondo que a função u(x, t) é a soma da distribuição estacionária com uma distribuição transiente w(x, t), ou seja, u(x, t)=v(x)+w(x, t), verifique que w satisfaz a equação do calor com condições de fronteira homogêneas e condição inicial w(x, 0)=f(x)-v(x). Por fim, determine w(x, t).
Passo 1
O enunciado dá a função u(x,t) definida para x\in[0,L], t\ge 0 que satisfaz
Se \lambda=0, então X''=0 e X(x)=Ax+B. As condições X(0)=0 e X(L)=0 implicam B=0 e A L=0, logo A=0. Isso dá X\equiv 0, solução trivial — não serve.
Se \lambda<0, escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então X''-\mu^{2}X=0 tem soluções com exponenciais reais e as condições de contorno levam novamente à solução trivial X\equiv 0.
Se \lambda>0, escreva \lambda=k^{2} com k>0. Então
X''+k^{2}X=0,
tem como soluções X(x)=C\cos(kx)+D\sin(kx). Impor X(0)=0 dá C=0, então X(x)=D\sin(kx). Impor X(L)=0 pede \sin(kL)=0, logo kL=n\pi para n\in\mathbb{Z}. Para soluções não-triviais tomamos n\in\mathbb{N}. Assim os autovalores são
Por linearidade, a solução geral de w\) (que satisfaz as condições homogêneas) é soma das contribuições de todos os modos:
\[w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\exp\!\left(-\frac{\alpha^{2}n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}t\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),
onde os coeficientes c_{n} são determinados pela condição inicial w(x,0)=f(x)-v(x). Precisamos expandir a função w(x,0) numa série de funções \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right). Usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno no intervalo (0,L):
(Esse resultado pode ser obtido usando a identidade trigonométrica (\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\tfrac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]] e integrando.)
Multiplicamos a expansão presumida por \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right) e integramos de 0 a L: