Exercício 3. Considere a condução de calor em uma barra com 40 c m de comprimento cujas extremidades são mantidas a temperatura 0^{\circ} C para todo t>0. Determine a expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição de temperatura inicial na barra é dada pela função
u(x, 0)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x, & 0 \leq x<20 \\\\ 60-x, & 20 \leq x \leq 40 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura u(x,t)\) numa barra de comprimento \(40\\ \text{cm}\) cujas extremidades são mantidas a \(0^\circ\text{C}\) para todo \(t>0\). As informações dadas são: \[\text{Comprimento: } L=40.
As condições de contorno (extremidades a zero) são
u(0,t)=0,\qquad u(40,t)=0\quad\text{para }t>0.
A distribuição inicial de temperatura (condição inicial) é a função por partes
u(x,0)=f(x)=\begin{cases} 2x, & 0\le x<20,\\[4pt] 60-x, & 20\le x\le 40. \end{cases}
A pergunta é: determine uma expressão para u(x,t)\] para \(0\le x\le 40 e t>0.]

Passo 2

Vamos procurar uma solução nas formas usuais para problemas com extremidades mantidas em zero: expandir a condição inicial numa série de senos (funções que satisfazem as condições de contorno) e acompanhar a decaída temporal de cada modo. Assumimos que a equação do calor tem a forma
\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
onde k>0 é a difusividade térmica (se o enunciado não der k, podemos manter k simbólico; para k=1 obtemos o caso mais comum). A ideia: escrever u(x,t) como soma de modos separados em x e t que satisfaçam as condições de contorno.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis, procuramos u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na equação e dividindo por XT obtemos
\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação. A equação espacial é
X''+\lambda X=0,
com X(0)=0 e X(L)=0 (aqui L=40). As soluções não-triviais com essas BCs são os autovalores e autovetores clássicos:
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad n=1,2,3,\dots
A parte temporal correspondente satisfaz T_n'(t)=-k\lambda_n T_n(t), com solução
T_n(t)=\mathrm{e}^{-k\lambda_n t}.
Portanto a solução geral (série de modos) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\mathrm{e}^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes B_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=f(x).

Passo 4

Explicando a fórmula dos coeficientes: as funções \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) são ortogonais em [0,L] com produto interno \int_0^L \sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{L}{2}\delta_{mn}. Projetando f sobre cada seno obtemos
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Aqui L=40. Então
B_n=\frac{2}{40}\int_{0}^{40} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right)\,dx=\frac{1}{20}\int_{0}^{40} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right)\,dx.
Como f é por partes, vamos calcular essa integral em duas partes.

Passo 5

Defina \alpha=\dfrac{n\pi}{40}. Então
\int_{0}^{40} f(x)\sin(\alpha x)\,dx=\int_{0}^{20}2x\sin(\alpha x)\,dx+\int_{20}^{40}(60-x)\sin(\alpha x)\,dx.
Calculemos cada integral por partes.
Para a primeira integral, tome I_1=\int_{0}^{20}2x\sin(\alpha x)\,dx. Usando integração por partes com u=2x (então du=2\,dx) e dv=\sin(\alpha x)\,dx (então v=-\cos(\alpha x)/\alpha), obtemos
I_1=-\frac{2x\cos(\alpha x)}{\alpha}\Big|_{0}^{20}+\frac{2}{\alpha}\int_{0}^{20}\cos(\alpha x)\,dx.
A integral de cosseno é \int \cos(\alpha x)\,dx=\dfrac{\sin(\alpha x)}{\alpha}. Avaliando os termos:
I_1=-\frac{40\cos(20\alpha)}{\alpha}+\frac{2}{\alpha}\cdot\frac{\sin(20\alpha)}{\alpha} =-\frac{40\cos(20\alpha)}{\alpha}+\frac{2\sin(20\alpha)}{\alpha^2}.
Para a segunda integral, I_2=\int_{20}^{40}(60-x)\sin(\alpha x)\,dx. Fazendo integração por partes com u=60-x (então du=-dx) e dv=\sin(\alpha x)\,dx (então v=-\cos(\alpha x)/\alpha), obtemos
I_2=-\frac{(60-x)\cos(\alpha x)}{\alpha}\Big|_{20}^{40}-\frac{1}{\alpha}\int_{20}^{40}\cos(\alpha x)\,dx.
A integral de cosseno novamente é \sin(\alpha x)/\alpha. Avaliando,
I_2=-\frac{20\cos(40\alpha)}{\alpha}-\frac{\sin(40\alpha)}{\alpha^2}+\frac{40\cos(20\alpha)}{\alpha}+\frac{\sin(20\alpha)}{\alpha^2}.
Somando I_1+I_2 temos:
\int_{0}^{40} f(x)\sin(\alpha x)\,dx = \Big(-\frac{40\cos(20\alpha)}{\alpha}+\frac{2\sin(20\alpha)}{\alpha^2}\Big) +\Big(-\frac{20\cos(40\alpha)}{\alpha}-\frac{\sin(40\alpha)}{\alpha^2}+\frac{40\cos(20\alpha)}{\alpha}+\frac{\sin(20\alpha)}{\alpha^2}\Big).
Observe que os termos com \cos(20\alpha) se cancelam. Agrupando os restantes:
\int_{0}^{40} f(x)\sin(\alpha x)\,dx = -\frac{20\cos(40\alpha)}{\alpha}+\frac{3\sin(20\alpha)}{\alpha^2}-\frac{\sin(40\alpha)}{\alpha^2}.
Agora use os valores especiais \alpha=\dfrac{n\pi}{40}, então 20\alpha=\dfrac{n\pi}{2} e 40\alpha=n\pi. Assim
\cos(40\alpha)=\cos(n\pi)=(-1)^n,\qquad \sin(40\alpha)=\sin(n\pi)=0,\qquad \sin(20\alpha)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Substituindo esses valores:
\int_{0}^{40} f(x)\sin(\alpha x)\,dx = -\frac{20(-1)^n}{\alpha}+\frac{3\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{\alpha^2}.
Lembre que B_n=\dfrac{1}{20} vezes essa integral. Logo
B_n=-\frac{(-1)^n}{\alpha}+\frac{3\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{20\alpha^2}.
Substituindo \alpha=\dfrac{n\pi}{40} (portanto \dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{40}{n\pi} e \dfrac{1}{\alpha^2}=\dfrac{1600}{n^2\pi^2}) obtemos
B_n=-(-1)^n\frac{40}{n\pi}+\frac{3\cdot 1600}{20}\frac{\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n^2\pi^2}.
Como \dfrac{3\cdot 1600}{20}=240, isto simplifica para
B_n=\frac{40(-1)^{\,n+1}}{n\pi}+\frac{240\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^2\pi^2}.
Observação útil: \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 quando n é par; para n ímpar vale 1 ou -1 dependendo de n\mod 4. Assim os coeficientes ficam mais simples para índices pares (apenas o primeiro termo permanece).

Passo 6

Substituindo os coeficientes B_n na série modal, com L=40 e \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{40}\right)^2, obtemos a solução final:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{40(-1)^{\,n+1}}{n\pi}+\frac{240\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^2\pi^2}\right) \mathrm{e}^{-k\left(\dfrac{n\pi}{40}\right)^2 t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right).
Isto fornece a expressão para u(x,t) para 0\le x\le 40 e t>0. Se o problema assume \,k=1, basta tomar k=1 na fórmula acima.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{40(-1)^{\,n+1}}{n\pi}+\frac{240\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n^2\pi^2}\right) \mathrm{e}^{-k\left(\dfrac{n\pi}{40}\right)^2 t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{40}\right).

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