Exercício 3. Considere a condução de calor em uma barra com 40 c m de comprimento cujas extremidades são mantidas a temperatura 0^{\circ} C para todo t>0. Determine a expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição de temperatura inicial na barra é dada pela função
O enunciado pede a temperatura u(x,t)\) numa barra de comprimento \(40\\ \text{cm}\) cujas extremidades são mantidas a \(0^\circ\text{C}\) para todo \(t>0\). As informações dadas são:
\[\text{Comprimento: } L=40.
As condições de contorno (extremidades a zero) são
u(0,t)=0,\qquad u(40,t)=0\quad\text{para }t>0.
A distribuição inicial de temperatura (condição inicial) é a função por partes
A pergunta é: determine uma expressão para u(x,t)\] para \(0\le x\le 40 e t>0.]
Passo 2
Vamos procurar uma solução nas formas usuais para problemas com extremidades mantidas em zero: expandir a condição inicial numa série de senos (funções que satisfazem as condições de contorno) e acompanhar a decaída temporal de cada modo. Assumimos que a equação do calor tem a forma
onde k>0 é a difusividade térmica (se o enunciado não der k, podemos manter k simbólico; para k=1 obtemos o caso mais comum). A ideia: escrever u(x,t) como soma de modos separados em x e t que satisfaçam as condições de contorno.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis, procuramos u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na equação e dividindo por XT obtemos
\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação. A equação espacial é
X''+\lambda X=0,
com X(0)=0 e X(L)=0 (aqui L=40). As soluções não-triviais com essas BCs são os autovalores e autovetores clássicos:
onde os coeficientes B_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=f(x).
Passo 4
Explicando a fórmula dos coeficientes: as funções \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) são ortogonais em [0,L] com produto interno \int_0^L \sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{L}{2}\delta_{mn}. Projetando f sobre cada seno obtemos
Para a primeira integral, tome I_1=\int_{0}^{20}2x\sin(\alpha x)\,dx. Usando integração por partes com u=2x (então du=2\,dx) e dv=\sin(\alpha x)\,dx (então v=-\cos(\alpha x)/\alpha), obtemos
Para a segunda integral, I_2=\int_{20}^{40}(60-x)\sin(\alpha x)\,dx. Fazendo integração por partes com u=60-x (então du=-dx) e dv=\sin(\alpha x)\,dx (então v=-\cos(\alpha x)/\alpha), obtemos
Observação útil: \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 quando n é par; para n ímpar vale 1 ou -1 dependendo de n\mod 4. Assim os coeficientes ficam mais simples para índices pares (apenas o primeiro termo permanece).
Passo 6
Substituindo os coeficientes B_n na série modal, com L=40 e \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{40}\right)^2, obtemos a solução final: