Exercício 7. Resolva a equação da onda sujeita as condições de contorno e iniciais dadas. Assuma que c=1 na equação da onda.
\left\{\begin{array}{l}u(0, t)=0=u(L, t) \\\ u(x, 0)=0, u_{t}(x, 0)=g(x)\end{array}\right., onde g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{L}, \text { se } 0 \leq x \leq \frac{L}{2} \\\ \frac{2(L-x)}{L}, \text { se } \frac{L}{2}<x \leq L .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda com velocidade c=1\) no intervalo \(0<x<L\), sujeita às condições de contorno e iniciais: \[\begin{cases} u_{tt}(x,t)=u_{xx}(x,t),\\[4pt] u(0,t)=0=u(L,t),\\[4pt] u(x,0)=0,\\[4pt] u_{t}(x,0)=g(x), \end{cases}
onde a função g(x)\] é a função triangular dada por \[g(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2x}{L}, & 0\le x\le \dfrac{L}{2},\\[8pt] \displaystyle \frac{2(L-x)}{L}, & \dfrac{L}{2}<x\le L. \end{cases}\] Resumo das perguntas/informações: - Resolver para \(u(x,t) para x\in(0,L), t\ge0.
- Condições de contorno: u(0,t)=u(L,t)=0.
- Condições iniciais: deslocamento inicial u(x,0)=0 e velocidade inicial u_t(x,0)=g(x) (triangular).]

Passo 2

Escolha do método e forma geral da solução (sem ainda calcular coeficientes). Vou expandir u(x,t) em séries de senos (autofunções que satisfazem as condições de contorno homogêneas). A forma geral por separação de variáveis / expansão em autofunções é:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big),
onde os autovalores e frequências são
\omega_n=\tfrac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,\dots
Explicando pedagogicamente: as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) são nulas em x=0 e x=L, por isso formam uma base adequada para representar soluções que satisfaçam as condições de contorno. As funções temporais combinam cosseno e seno com frequências \omega_n naturais do problema.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais para relacionar os coeficientes A_n e B_n.
  • Como u(x,0)=0, temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)=0.
Pela ortogonalidade das funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big), isso implica A_n=0 para todo n.
  • A condição da velocidade inicial dá
u_t(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\cos(\omega_n t)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big),
portanto em t=0:
g(x)=u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big).
Para obter B_n usamos a fórmula de coeficiente da série de senos (ortogonalidade):
B_n\omega_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx.
Logo
B_n=\frac{2}{L\omega_n}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx.

Passo 4

Simplificar a expressão usando \omega_n=\tfrac{n\pi}{L}. Substituindo,
B_n=\frac{2}{L}\cdot\frac{L}{n\pi}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx =\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{L} g(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx.
Definindo k=\tfrac{n\pi}{L} para simplificar notação, vamos calcular a integral
I_n=\int_{0}^{L} g(x)\sin(kx)\,dx.
Como g é dada por partes, escrevemos
I_n=\int_{0}^{L/2}\frac{2x}{L}\sin(kx)\,dx+\int_{L/2}^{L}\frac{2(L-x)}{L}\sin(kx)\,dx =\frac{2}{L}\big(I_a+I_b\big),
onde
I_a=\int_{0}^{L/2} x\sin(kx)\,dx,\qquad I_b=\int_{L/2}^{L} (L-x)\sin(kx)\,dx.

Passo 5

Calcular I_a por partes. Fórmula útil: \displaystyle\int x\sin(kx)\,dx=-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}+C.
Avaliaremos de 0 até L/2:
I_a=\Big[-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^2}\Big]_{0}^{L/2} = -\frac{L}{2}\cdot\frac{\cos(kL/2)}{k}+\frac{\sin(kL/2)}{k^2}.

Passo 6

Calcular I_b. Faço integração por partes com u=L-x, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=-dx, v=-\frac{\cos(kx)}{k}. Assim
I_b=(L-x)\Big(-\frac{\cos(kx)}{k}\Big)\Big|_{L/2}^{L}-\int_{L/2}^{L}\Big(-\frac{\cos(kx)}{k}\Big)(-dx).
Isso dá (organizando):
I_b=\frac{L}{2}\cdot\frac{\cos(kL/2)}{k}-\frac{1}{k^2}\big(\sin(kL)-\sin(kL/2)\big).
Observação: usei a primitiva de \cos(kx), que é \frac{\sin(kx)}{k}.

Passo 7

Somar I_a+I_b. Ao somar as expressões de Passo 5 e Passo 6, os termos com \cos(kL/2) se cancelam:
I_a+I_b=\Big(-\frac{L}{2}\frac{\cos(kL/2)}{k}+\frac{\sin(kL/2)}{k^2}\Big) +\Big(\frac{L}{2}\frac{\cos(kL/2)}{k}-\frac{\sin(kL)}{k^2}+\frac{\sin(kL/2)}{k^2}\Big).
Logo
I_a+I_b=\frac{2\sin(kL/2)}{k^2}-\frac{\sin(kL)}{k^2}.
Substituindo k=\tfrac{n\pi}{L}, observe que \sin(kL)=\sin(n\pi)=0. Portanto
I_a+I_b=\frac{2\sin(kL/2)}{k^2}.

Passo 8

Voltar para I_n. Lembremos que I_n=\dfrac{2}{L}(I_a+I_b). Então
I_n=\frac{2}{L}\cdot\frac{2\sin(kL/2)}{k^2}=\frac{4\sin\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{Lk^2}.
Agora substituímos k^2=\dfrac{n^2\pi^2}{L^2}, obtendo
I_n=\frac{4\sin\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{L}\cdot\frac{L^2}{n^2\pi^2}=\frac{4L}{n^2\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big).

Passo 9

Obter B_n a partir de I_n. Lembrando que
B_n=\frac{2}{n\pi}I_n,
temos
B_n=\frac{2}{n\pi}\cdot\frac{4L}{n^2\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) =\frac{8L}{n^3\pi^3}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big).
Observação sobre \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big): para n par essa função é zero; para n ímpar, n=2m+1,
\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi}{2}\big)=(-1)^m.
Portanto só aparecem termos com índices ímpares na série.

Passo 10

Escrever a solução final usando que A_n=0. Assim
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\big(\omega_n t\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8L}{n^3\pi^3}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big).
Retirando os termos nulos (n pares) e reindexando com n=2m+1, obtemos a forma mais compacta:
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8L}{(2m+1)^3\pi^3}(-1)^m\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi t}{L}\big)\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi x}{L}\big).
Essa série é a solução buscada; ela satisfaz as condições de contorno, a equação da onda e as condições iniciais u(x,0)=0 e u_t(x,0)=g(x).

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8L}{n^3\pi^3}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{L}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)
ou, equivalentemente,
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8L}{(2m+1)^3\pi^3}(-1)^m\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi t}{L}\big)\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi x}{L}\big).

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