Exercício 7. Resolva a equação da onda sujeita as condições de contorno e iniciais dadas. Assuma que c=1 na equação da onda. \left\{\begin{array}{l}u(0, t)=0=u(L, t) \\\ u(x, 0)=0, u_{t}(x, 0)=g(x)\end{array}\right., onde g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x}{L}, \text { se } 0 \leq x \leq \frac{L}{2} \\\ \frac{2(L-x)}{L}, \text { se } \frac{L}{2}<x \leq L .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda com velocidade c=1\) no intervalo \(0<x<L\), sujeita às condições de contorno e iniciais:
\[\begin{cases} u_{tt}(x,t)=u_{xx}(x,t),\\[4pt] u(0,t)=0=u(L,t),\\[4pt] u(x,0)=0,\\[4pt] u_{t}(x,0)=g(x), \end{cases}
onde a função g(x)\] é a função triangular dada por
\[g(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2x}{L}, & 0\le x\le \dfrac{L}{2},\\[8pt] \displaystyle \frac{2(L-x)}{L}, & \dfrac{L}{2}<x\le L. \end{cases}\]
Resumo das perguntas/informações:
- Resolver para \(u(x,t) para x\in(0,L), t\ge0.
- Condições de contorno: u(0,t)=u(L,t)=0.
- Condições iniciais: deslocamento inicial u(x,0)=0 e velocidade inicial u_t(x,0)=g(x) (triangular).]
Passo 2
Escolha do método e forma geral da solução (sem ainda calcular coeficientes). Vou expandir u(x,t) em séries de senos (autofunções que satisfazem as condições de contorno homogêneas). A forma geral por separação de variáveis / expansão em autofunções é:
Explicando pedagogicamente: as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) são nulas em x=0 e x=L, por isso formam uma base adequada para representar soluções que satisfaçam as condições de contorno. As funções temporais combinam cosseno e seno com frequências \omega_n naturais do problema.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais para relacionar os coeficientes A_n e B_n.