Exercício 3. Considere o sistema que leva o sinal de entrada x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} para o sinal de saída y: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} dado por y[n]=x[n-5], para todo n \in \mathbb{N}.
  1. Esse sistema é linear e invariante no tempo?
  2. Esse sistema é invertível? Se sim, descreva a inversa desse sistema por uma equação que relaciona a saída com a entrada.
  3. A inversa desse sistema é um sistema causal?

Passo 1

O enunciado define um sistema S que a cada sequência de entrada x\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R} associa a saída
y[n] = x[n-5]\,,\quad n\in\mathbb{N}.
Vamos checar três propriedades clássicas em sistemas discretos: linearidade, invariância no tempo, invertibilidade e, por fim, a causalidade da inversa (caso exista).

Passo 2

Para verificar linearidade, tomemos duas entradas x_1[n] e x_2[n] e dois escalares \alpha,\beta. A ação de S sobre a combinação linear é
S\{\alpha\,x_1 + \beta\,x_2\}[n] = (\alpha\,x_1 + \beta\,x_2)[n-5] = \alpha\,x_1[n-5] + \beta\,x_2[n-5] = \alpha\,y_1[n] + \beta\,y_2[n].
Logo S satisfaz superposição e é linear.

Passo 3

Para checar invariância no tempo, considere a entrada deslocada \tilde x[n] = x[n-k]. A saída correspondente é
S\{\tilde x\}[n] = \tilde x[n-5] = x[(n-5)-k] = y[n-k].
Ou seja, deslocar a entrada por k desloca a saída pela mesma quantidade: S é invariante no tempo.

Passo 4

Um sistema é invertível se cada saída y vier de uma única entrada x. Aqui, sabendo y[n] podemos recuperar
x[n] = y[n+5].
Isso mostra que S é injetor e, portanto, invertível.

Passo 5

A inversa S^{-1} atua em uma sequência de entrada y[n] produzindo
x[n] = S^{-1}\{y\}[n] = y[n+5].
Esta é a equação da inversa que relaciona saída de S com sua entrada original.

Passo 6

Para ser causal, um sistema não pode usar valores futuros da entrada ao computar a saída. Mas S^{-1} exige y[n+5] para obter x[n], isto é, depende de valores de y em índices maiores que n. Logo S^{-1} é não causal.

Resposta

  1. Sim, o sistema é linear e invariante no tempo.
  2. Sim, é invertível; sua inversa é x[n] = y[n+5].
  3. A inversa não é causal.

Exercícios relacionados