Exercício 3. Considere o sistema que leva o sinal de entrada
para o sinal de saída
dado por
, para todo
.
- Esse sistema é linear e invariante no tempo?
- Esse sistema é invertível? Se sim, descreva a inversa desse sistema por uma equação que relaciona a saída com a entrada.
- A inversa desse sistema é um sistema causal?
Passo 1
O enunciado define um sistema
que a cada sequência de entrada
associa a saída
Vamos checar três propriedades clássicas em sistemas discretos: linearidade, invariância no tempo, invertibilidade e, por fim, a causalidade da inversa (caso exista).
Passo 2
Para verificar linearidade, tomemos duas entradas
e
e dois escalares
. A ação de
sobre a combinação linear é
Logo
satisfaz superposição e é linear.
Passo 3
Para checar invariância no tempo, considere a entrada deslocada
. A saída correspondente é
Ou seja, deslocar a entrada por
desloca a saída pela mesma quantidade:
é invariante no tempo.
Passo 4
Um sistema é invertível se cada saída
vier de uma única entrada
. Aqui, sabendo
podemos recuperar
Isso mostra que
é injetor e, portanto, invertível.
Passo 5
A inversa
atua em uma sequência de entrada
produzindo
Esta é a equação da inversa que relaciona saída de
com sua entrada original.
Passo 6
Para ser causal, um sistema não pode usar valores futuros da entrada ao computar a saída. Mas
exige
para obter
, isto é, depende de valores de
em índices maiores que
. Logo
é não causal.
Resposta
- Sim, o sistema é linear e invariante no tempo.
- Sim, é invertível; sua inversa é
. - A inversa não é causal.