Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] :
y[n]=\operatorname{mediana}\{x[n-1], x[n], x[n+1]\},
onde mediana \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} é a função que retorna a mediana entre x_{1}, x_{2} e x_{3}. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é linear? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o filtro de mediana em tempo discreto
y[n]=\operatorname{mediana}\{\,x[n-1],\,x[n],\,x[n+1]\}
e pergunta se esse sistema é linear. Para ser linear, ele deve satisfazer homogeneidade
T\{a\,x[n]\}=a\,T\{x[n]\}
e aditividade
T\{x_1[n]+x_2[n]\}=T\{x_1[n]\}+T\{x_2[n]\}.

Passo 2

Verificamos a aditividade com um contra­exemplo num ponto fixo n. Seja
x_1[n-1]=1,\;x_1[n]=5,\;x_1[n+1]=9
x_2[n-1]=2,\;x_2[n]=6,\;x_2[n+1]=3.
Então
T\{x_1\}= \operatorname{mediana}\{1,5,9\}=5,
T\{x_2\}= \operatorname{mediana}\{2,6,3\}=\operatorname{mediana}\{2,3,6\}=3,
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T\{x_1\}+T\{x_2\}=5+3=8.

Passo 3

Agora calculemos a resposta ao somar as entradas antes de aplicar o filtro:
x_1[n-1]+x_2[n-1]=1+2=3,\quad x_1[n]+x_2[n]=5+6=11,\quad x_1[n+1]+x_2[n+1]=9+3=12,
então
T\{x_1+x_2\} =\operatorname{mediana}\{3,11,12\} =\operatorname{mediana}\{3,11,12\}=11.
Como
T\{x_1+x_2\}=11\neq 8=T\{x_1\}+T\{x_2\},
a propriedade de aditividade falha.

Resposta

O sistema não é linear, pois não satisfaz a propriedade de superposição (aditividade).

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