Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada
e produz uma sequência de saída
:
onde mediana
é a função que retorna a mediana entre
e
. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é linear? Justifique sua resposta.
O sistema é linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define o filtro de mediana em tempo discreto
e pergunta se esse sistema é linear. Para ser linear, ele deve satisfazer homogeneidade
e aditividade
Passo 2
Verificamos a aditividade com um contraexemplo num ponto fixo
. Seja
Então
logo
Passo 3
Agora calculemos a resposta ao somar as entradas antes de aplicar o filtro:
então
Como
a propriedade de aditividade falha.
Resposta
O sistema não é linear, pois não satisfaz a propriedade de superposição (aditividade).