Exercício 6. Sejam O=(0,0), A=(0,2), B=(6,-2) e C=(2,5) pontos do plano. Sejam u1 e u2 vetores no plano determinados pelos pontos (1,2) e (4,-3), respectivamente
a) Calcular o cosseno do ângulo entre os vetores u1 e u2;
b) Seja r a reta que passa pelos pontos A e B do plano. Encontrar as equações paramétrica e cartesiana da reta r e das retas ortogonais a r;
c) Calcular a distância entre o ponto C e a reta r;

Passo 1

O enunciado dá os pontos
,O=(0,0),,A=(0,2),,B=(6,-2),,C=(2,5)
e os vetores no plano
u1=(1,2) e u2=(4,-3).
Pede:
a) o cosseno do ângulo entre u1 e u2;
b) as equações paramétrica e cartesiana da reta r que passa por A e B e também as equações das retas ortogonais a r;
c) a distância entre C e r.
Conteúdos usados: produto escalar e norma de vetores, equação de reta no plano, condição de perpendicularidade e fórmula da distância ponto–reta.

Passo 2

Para o cosseno do ângulo theta entre u1 e u2 usamos
costheta = u1cdotu2|u1|;|u2|
Calculando:
u1cdotu2 = 1cdot4 + 2cdot(-3) = 4 - 6 = -2,
|u1| = raiz1^2 + 2^2 = raiz5, |u2| = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz25 = 5
Logo,
costheta = -2raiz5,cdot5 = -25raiz5

Passo 3

O vetor diretor de r é
AB = B - A = (6,-2) - (0,2) = (6,-4)
Equação paramétrica de r:
(x,y) = (0,2) + t,(6,-4), tinR,
isto é
x = 6t, y = 2 - 4t
Para a eq. cartesiana, escrevemos
x-06 = y-2-4,
ou ainda
4x + 6(y-2) = 0 ;Longrightarrow; 2x + 3y - 6 = 0

Passo 4

Uma reta é ortogonal a r se seu vetor diretor ,(w1,w2) satisfaz
(6,-4)cdot(w1,w2) = 6w1 - 4w2 = 0 ;Longrightarrow; 3w1 - 2w2 = 0
Uma solução é w=(2,3).
Assim, a família de retas ortogonais a r tem equação paramétrica genérica
(x,y) = (x0,y0) + s,(2,3),
e equação cartesiana
3x - 2y + k = 0,
com kinR.
Em particular, a reta perpendicular a r que passa por C=(2,5) é
(x,y) = (2,5) + s,(2,3), 3x - 2y + 4 = 0

Passo 5

Para a distância de C=(2,5) à reta rcolon 2x+3y-6=0 usamos
d = |2cdot2 + 3cdot5 - 6|raiz2^2+3^2 = |4 + 15 - 6|raiz13 = 13raiz13 = raiz13

Resposta

a) costheta = -25raiz5.
b)
r:;(x,y)=(0,2)+t,(6,-4),;x6=y-2-4
e as retas ortogonais a r têm
(x,y)=(x0,y0)+s,(2,3),\quad 3x-2y+k=0.
c) d(C,r)=raiz13

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