Exercício 6. (D.K. ex. 5.5) Considere para
a seguinte função em
:
Verifique que a equação acima satisfaz a seguinte equação (chamada equação do calor ou da difusão)
Calcule os seguintes limites em
:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado define para
a função em
:
e pede (i) verificar que
(equação do calor) e (ii) os limites em
:
a) , b)
. Para isso precisaremos das regras de derivação de exponenciais e do conceito de convergência em distribuições (testar contra funções teste).
a)
Passo 2
Calcular
usando a regra do produto e cadeia: escrevemos
com
e
. Então
logo pela regra do produto
Passo 3
Calcular
via derivadas espaciais. Para cada
temos
Somando em
obtém-se
Passo 4
Para o limite a) mostramos que
é um núcleo aproximador da identidade. Em efeito para qualquer
,
Fazendo a mudança
mostra-se que
e que a massa se concentra em
, de modo que
Portanto
Passo 5
Para o limite b) usamos
e a continuidade de
em
. Para
,
Logo
Resposta
a)
b)
b)