Exercício 6. (D.K. ex. 5.5) Considere para t>0 a seguinte função em R^n :
ut(x)=1(4 pi t)^n2 e^-|x|^24 t
Verifique que a equação acima satisfaz a seguinte equação (chamada equação do calor ou da difusão)
dd t ut=De<a u
Calcule os seguintes limites em D^prime(R^n) :
a) lim t 0^+ ut.
b) lim t 0^+ dd t ut.

Passo 1

O enunciado define para t>0 a função em R^n:
ut(x)=1(4pi t)^n2e^-|x|^24t
e pede (i) verificar que partialt ut=De<a ut (equação do calor) e (ii) os limites em D'(R^n):
a) limtto0^+ut, b) limtto0^+partialt ut. Para isso precisaremos das regras de derivação de exponenciais e do conceito de convergência em distribuições (testar contra funções teste).

Passo 2

Calcular partialt ut usando a regra do produto e cadeia: escrevemos ut=A(t)e^phi(t) com A(t)=(4pi t)^-n/2 e phi(t)=-|x|^2/(4t). Então
A'(t)=-n2tA(t), phi'(t)=|x|^24t^2,
logo pela regra do produto
partialt ut =A'(t)e^phi(t)+A(t)e^phi(t)phi'(t) =utl(-n2t+|x|^24t^2r)

Passo 3

Calcular De<a ut via derivadas espaciais. Para cada i temos
partialxiut =-xi2tut, partialxi^2ut =l(-12t+xi^24t^2r)ut
Somando em i=1,dots,n obtém-se
De<a ut =sumi=1^npartialxi^2ut =utl(-n2t+|x|^24t^2r) =partialt ut

Passo 4

Para o limite a) mostramos que ut é um núcleo aproximador da identidade. Em efeito para qualquer varphiinD(R^n),
lang<= ut,varphirang<= =integralR^nut(x),varphi(x),dx
Fazendo a mudança y=x/(2raizt) mostra-se que integral ut=1 e que a massa se concentra em 0, de modo que
limtto0^+lang<= ut,varphirang<= =varphi(0)
Portanto
limtto0^+ut=de<a0 em D'(R^n)

Passo 5

Para o limite b) usamos partialt ut=De<a ut e a continuidade de De<a em D'. Para varphiinD,
lang<=partialtut,varphirang<= =lang<=De<a ut,varphirang<= =lang<= ut,De<avarphirang<= to (De<avarphi)(0) =lang<=De<ade<a0,varphirang<=
Logo
limtto0^+partialtut =De<ade<a0 em D'(R^n)

Resposta

a) de<a0
b) De<ade<a0

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