P 1.3. Discuta a existência de solução dos seguintes sistemas de equações lineares, em termos dos parâmetros reais alpha e beta :
(cccx1+x2+x3+3 x4 & = & 1 2 x1+2 x2+x3+x4 & = & 2 x1+x2+3 x3+14 x4 & = & 4 2 x3+alpha x4 & = & beta

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de quatro equações lineares em (x1,x2,x3,x4) que dependem dos parâmetros reais alpha e beta. O conteúdo é resolução por eliminação de Gauss e condição de consistência (sistema compatível/incompatível). Vamos reescrever parte das equações para facilitar combinações lineares, eliminar incógnitas e achar a relação que alpha e beta devem satisfazer.

Passo 2

Definimos S = x1 + x2 e reescrevemos as três primeiras equações em função de S:
S + x3 + 3x4 = 1, 2S + x3 + x4 = 2, S + 3x3 + 14x4 = 4

Passo 3

Para eliminar S e obter uma relação entre x3 e x4, fazemos 2 times(primeira equação) menos (segunda equação):
2(S + x3 + 3x4) - (2S + x3 + x4) = 2cdot1 - 2 ;Longrightarrow; x3 + 5x4 = 0 ;Longrightarrow; x3 = -5x4

Passo 4

Substituímos x3 = -5x4 na terceira equação reescrita:
S + 3(-5x4) + 14x4 = 4 ;Longrightarrow; S + (-15x4 + 14x4) = 4 ;Longrightarrow; S - x4 = 4
Mas como ainda temos a primeira equação, é mais direto usar a primeira para achar S assim que conhecermos x4. De qualquer forma, vamos achar x4 isolando S nas duas equações reescritas: da primeira,
S = 1 - x3 - 3x4 = 1 - (-5x4) - 3x4 = 1 +2x4
Igualando às duas expressões de S,
1 + 2x4 = 4 + x4 ;Longrightarrow; 2x4 - x4 = 4 - 1 ;Longrightarrow; x4 = 3

Passo 5

Com x4=3 temos
x3 = -5x4 = -15, S = 1 + 2cdot3 = 7,
ou seja
x1 + x2 = 7,
logo as duas primeiras incógnitas ainda são livres de um parâmetro (por exemplo t = x2 e x1 = 7 - t).

Passo 6

Resta impor a quarta equação original
2x3 + alpha,x4 = beta
Substituindo x3=-15 e x4=3 obtemos
2(-15) + alphacdot3 = beta ;Longrightarrow; -30 + 3alpha = beta ;Longrightarrow; beta = 3alpha - 30

Resposta

O sistema é compatível (tem infinitas soluções, um grau de liberdade em x2) se, e somente se,
beta = 3alpha - 30
Caso contrário ( beta neq 3alpha - 30), o sistema é incompatível (sem solução).

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