Seja T: U V uma transformação linear. Mostre que:
dim U<dim V Rightarrow T não pode ser sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos uma transformação linear
T:Uto V
e dim U<dim V, então T não pode ser sobrejetora. O conteúdo que vamos usar é o fato de que a imagem de T, que é um subespaço de V, tem dimensão no máximo igual à dimensão de U (fato que pode ser visto via imagens de uma base ou pelo Teorema da Dimensão: nulidade mais posto).

Passo 2

Considere a imagem
.
Seja uma base de . Então as vetores

geram . Logo
Alternativamente, pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), temos

Passo 3

Se T fosse sobrejetora, teríamos Im(T)=V e portanto
dim V = diml(Im(T)r)<= dim U,
o que contradiz a hipótese dim U<dim V. Portanto T não pode ser sobrejetora.

Resposta

T não é sobrejetora.

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