Seja
uma transformação linear. Mostre que:
não pode ser sobrejetora.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma transformação linear
e , então
não pode ser sobrejetora. O conteúdo que vamos usar é o fato de que a imagem de
, que é um subespaço de
, tem dimensão no máximo igual à dimensão de
(fato que pode ser visto via imagens de uma base ou pelo Teorema da Dimensão: nulidade mais posto).
e
Passo 2
Considere a imagem
.
Seja uma base de
. Então as vetores
geram . Logo
Seja
geram
Alternativamente, pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity), temos
Passo 3
Se
fosse sobrejetora, teríamos
e portanto
o que contradiz a hipótese
. Portanto
não pode ser sobrejetora.