Exercício 4. (D.K. ex. 3.1) Prove que P V(1x), 1x+i 0 e 1x-i 0 são todas distribuições de ordem 1. (Observação: A prova para P V(1x) foi feita em aula. Para as demais, basta usar os mesmos argumentos ou usar o fato de que P V(1x) tem ordem 1 junto com os resultados do item 1) do exercício anterior).

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que as distribuições
, e são de ordem .
Isto é, para cada uma delas existe constante e um compacto tal que, para toda ,
Sabemos já (em aula) que é de ordem 1. Vamos usar também que tem ordem 0 e a relação
para concluir o resultado para .

Passo 2

Definição (ordem de uma distribuição). Dizemos que é de ordem se, para todo compacto , existe tal que
Nosso objetivo é encaixar cada um dos nessa desigualdade com .

Passo 3

Esboço do argumento para PV(1/x) ter ordem 1. Seja varphiin D([-R,R]).
lang<= PV(1/x),varphirang<= =limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonvarphi(x)x,dx
Separe o domínio em 1<|x|<R e varepsilon<|x|<1.
  1. Para 1<|x|<R: l|integral1<|x|<Rvarphi(x)x,dxr| <=sup|x|<= R|varphi(x)|integral1^Rdxx =sup|varphi|;ln R
  2. Para varepsilon<|x|<1: escrevemos
    varphi(x)=varphi(x)-varphi(0)+varphi(0).
    Como integralvarepsilon<|x|<1varphi(0),x^-1,dx=0 (integrando a função ímpar), resta l|integralvarepsilon<|x|<1varphi(x)-varphi(0)x,dxr| <=sup|,varphi'(x),|integral|x|<11,dx =2,sup|varphi'|
Somando as duas partes achamos
l|lang<= PV(1/x),varphirang<=r| <=sup|varphi|;ln R+2,sup|varphi'|
Logo PV(1/x) é de ordem 1, pois basta tomar C=max(ln R,2).

Passo 4

A distribuição de<a (delta de Dirac em 0) age por lang<=de<a,varphirang<==varphi(0), então
l|lang<=de<a,varphirang<=r| =|varphi(0)|<=supxin K|varphi(x)|,
o que mostra que de<a é de ordem 0.

Passo 5

Usando a identidade clássica
1xpm i0=PVl(tfrac1xr)mp ipi,de<a,
vemos que tfrac1xpm i0 é soma de uma distribuição de ordem 1 com outra de ordem 0. O máximo das ordens é 1, então tfrac1xpm i0 também é de ordem 1.

Resposta

Mostramos que PV(1/x), tfrac1x+i0 e tfrac1x-i0 são distribuições de ordem 1.

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