Exercício 4. (D.K. ex. 3.1) Prove que e são todas distribuições de ordem 1. (Observação: A prova para foi feita em aula. Para as demais, basta usar os mesmos argumentos ou usar o fato de que tem ordem 1 junto com os resultados do item 1) do exercício anterior).
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que as distribuições , e são de ordem .
Isto é, para cada uma delas existe constante e um compacto tal que, para toda ,
Sabemos já (em aula) que é de ordem 1. Vamos usar também que tem ordem 0 e a relação
para concluir o resultado para .
Passo 2
Definição (ordem de uma distribuição). Dizemos que é de ordem se, para todo compacto , existe tal que
Nosso objetivo é encaixar cada um dos nessa desigualdade com .
Passo 3
Esboço do argumento para PV(1/x) ter ordem 1. Seja varphiin D([-R,R]).
Para 1<|x|<R: l|integral1<|x|<Rvarphi(x)x,dxr| <=sup|x|<= R|varphi(x)|integral1^Rdxx =sup|varphi|;ln R
Para varepsilon<|x|<1: escrevemos varphi(x)=varphi(x)-varphi(0)+varphi(0).
Como integralvarepsilon<|x|<1varphi(0),x^-1,dx=0 (integrando a função ímpar), resta l|integralvarepsilon<|x|<1varphi(x)-varphi(0)x,dxr| <=sup|,varphi'(x),|integral|x|<11,dx =2,sup|varphi'|