Exercício 9. Considere o seguinte sistema de equações diferenciais
X^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] X
a) Encontre a solução geral real do sistema.
b) Encontre a solução tal que X(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
X' = A\,X,\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\\ -1 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
e pede (a) a solução geral real e (b) a solução com X(0)=(1,1,1)^T. Isso é sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes; vamos usar a decomposição em blocos e autovalores complexos para resolver.

Passo 2

Note que A é em bloco
A = \begin{pmatrix}B & 0\\\ 0 & [1]\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Então o sistema se separa em
\begin{cases} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}' = B\,\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\\\ z' = 1\cdot z. \end{cases}

Passo 3

Para o bloco B, façamos z_1 = x + i\,y. Então
z_1' = x' + i\,y' = (1+i)\,(x + i\,y) = (1+i)\,z_1,
cuja solução é z_1(t) = C_1\,e^{(1+i)t}. Escrevendo em termos reais, se C_1 = a + i\,b, então
x(t) = e^t\bigl(a\cos t - b\sin t\bigr), \quad y(t) = e^t\bigl(a\sin t + b\cos t\bigr),
com a,b\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para a terceira equação z' = z, a solução geral é
z(t) = C_3\,e^t,
com C_3\in\mathbb{R}.

Passo 5

Juntando, a solução geral real do sistema é
X(t) = \begin{pmatrix} e^t\bigl(a\cos t - b\sin t\bigr)\\[6pt] e^t\bigl(a\sin t + b\cos t\bigr)\\[4pt] C_3\,e^t \end{pmatrix},
once a,b,C_3 são constantes reais.]

Passo 6

Impondo X(0)=(1,1,1)^T temos
x(0)=a=1, \quad y(0)=b=1, \quad z(0)=C_3=1.
Logo a solução particular é
X(t)=\begin{pmatrix} e^t\bigl(\cos t - \sin t\bigr)\\[4pt] e^t\bigl(\sin t + \cos t\bigr)\\[4pt] e^t \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) A solução geral é
X(t)=\begin{pmatrix} e^t\bigl(a\cos t - b\sin t\bigr)\\[4pt] e^t\bigl(a\sin t + b\cos t\bigr)\\[4pt] C_3\,e^t \end{pmatrix}, \quad a,b,C_3\in\mathbb{R}.
(b) Com X(0)=(1,1,1)^T,
X(t)=\begin{pmatrix} e^t\bigl(\cos t - \sin t\bigr)\\[4pt] e^t\bigl(\sin t + \cos t\bigr)\\[4pt] e^t \end{pmatrix}.]

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