Encontre a imagem S^{\prime} dos conjuntos S (definido abaixo) sob o mapeamento de w=f(z)=z^{2}
a) x=-3

Passo 1

O enunciado pede a imagem S' do conjunto
S = \{z\in\mathbb{C}\mid \Re(z)=-3\}
sob o mapeamento w=f(z)=z^2. O conteúdo aqui é transformação de conjuntos no plano complexo: usamos uma parametrização de z em termos de sua parte imaginária e calculamos w.

Passo 2

Como em S temos \Re(z)=-3, escrevemos
z = -3 + i\,y,\quad y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calculamos
w = z^2 = (-3 + i\,y)^2 = 9 - y^2 \;-\;6\,i\,y.
Seja w = u + i\,v. Então
u = 9 - y^2,\quad v = -6\,y.

Passo 4

Eliminamos o parâmetro y. Da equação v = -6\,y vem
y = -\frac{v}{6},
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u = 9 - \Bigl(-\frac{v}{6}\Bigr)^{2} = 9 - \frac{v^{2}}{36}.
Assim a imagem S' é o conjunto dos pontos w=u+iv que satisfazem
u = 9 - \frac{v^{2}}{36},\quad v\in\mathbb{R},
isto é, uma parábola no plano uv.

Resposta

A imagem S' é a parábola
S' = \bigl\{\,w=u+iv : u = 9 - \tfrac{v^{2}}{36},\;v\in\mathbb{R}\bigr\}.

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