As trajetórias são elipses? Justifique.
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x \\\ \dot{y}=-y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de duas equações diferenciais acopladas
\begin{cases} \dot{x}=x,\\\ \dot{y}=-y, \end{cases}
e pergunta se as trajetórias no plano (x,y) são elipses. Para responder, vamos resolver o sistema explicitamente e eliminar o parâmetro tempo, obtendo a curva no plano de fase.

Passo 2

Cada equação está desacoplada, então podemos resolver separadamente.
Para \dot{x}=x, separamos variáveis:
\frac{dx}{dt}=x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}=dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|x|=t + C_1 \quad\Longrightarrow\quad x(t)=A\,e^{t},
onde A=e^{C_1} é a constante determinada pela condição inicial x(0)=A.
De modo análogo, para \dot{y}=-y:
\frac{dy}{dt}=-y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y}=-dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=-t + C_2 \quad\Longrightarrow\quad y(t)=B\,e^{-t},
onde B=e^{C_2} corresponde a y(0)=B.

Passo 3

Para eliminar t e obter a equação da trajetória, notamos que
x(t)\,y(t) = \bigl(A\,e^{t}\bigr)\bigl(B\,e^{-t}\bigr) = AB.
Chamando a constante C = AB, temos a relação
x\,y = C,
que é a equação geral de uma família de hipérboles no plano.

Passo 4

Como as curvas de nível x\,y=C são hipérboles (e não elipses), concluímos que as trajetórias do sistema não são elipses.

Resposta

Não, as trajetórias são hipérboles definidas pela relação x\,y=C.

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