As trajetórias são elipses? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de duas equações diferenciais acopladas
e pergunta se as trajetórias no plano
são elipses. Para responder, vamos resolver o sistema explicitamente e eliminar o parâmetro tempo, obtendo a curva no plano de fase.
Passo 2
Cada equação está desacoplada, então podemos resolver separadamente.
Para , separamos variáveis:
Para
onde
é a constante determinada pela condição inicial
.
De modo análogo, para :
De modo análogo, para
onde
corresponde a
.
Passo 3
Para eliminar
e obter a equação da trajetória, notamos que
Chamando a constante
, temos a relação
que é a equação geral de uma família de hipérboles no plano.
Passo 4
Como as curvas de nível
são hipérboles (e não elipses), concluímos que as trajetórias do sistema não são elipses.
Resposta
Não, as trajetórias são hipérboles definidas pela relação
.