Exercício 7. Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x, y e z.
\left\{\begin{array}{rlrl} x+2 y+ & z & =1 \\\ x+3 y+ & z & 1 \\\\ 3 x+7 y+\left(a^{2}-1\right) z & = & a+1 \end{array}\right.
(a) Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Para o caso em que o sistema possui infinitas soluções, encontre a solução geral do sistema.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema nas variáveis x,y,z\) é (assumindo que a segunda equação também é igual a \(1\), isto é, o sistema foi formulado de forma consistente):
\[\begin{cases} x+2y+z=1,\\[4pt] x+3y+z=1,\\[4pt] 3x+7y+\left(a^{2}-1\right)z=a+1. \end{cases}
O enunciado pede:
(a) Determinar todos os valores de (a] para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) No caso em que há infinitas soluções, encontrar a solução geral do sistema.
Informações relevantes prontas para usar:
a é um parâmetro real.
As incógnitas são x,y,z.
Vamos trabalhar com operações elementares de linhas (eliminação de Gauss) para triangularizar e analisar consistência e liberdade de variáveis.]
Passo 2
Vou aplicar eliminação por linhas passo a passo. Escrevo a matriz aumentada inicial:
pois aqui podemos cancelar (a-2) (já que a\neq2). Logo z é determinado, y=0 e x=1-z também é determinado. Assim para a\neq \pm 2 o sistema tem solução única.
Caso a=2.
Então a^{2}-4=0 e a-2=0. A terceira linha vira 0\cdot z = 0, que é verdade para qualquer z. Assim z fica livre (um parâmetro), y=0 e x=1-z. Há infinitas soluções quando a=2.
Caso a=-2.
Então a^{2}-4=0 e a-2=-4. A terceira linha vira 0\cdot z = -4, ou seja 0=-4, uma contradição. Portanto não existem soluções quando a=-2.
Passo 5
Resumo das conclusões e construção explícita da solução geral no caso de infinitas soluções.
Para a\neq \pm 2: sistema compatível determinado (solução única). A solução é