Exercício 7. Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x, y e z.
\left\{\begin{array}{rlrl} x+2 y+ & z & =1 \\\ x+3 y+ & z & 1 \\\\ 3 x+7 y+\left(a^{2}-1\right) z & = & a+1 \end{array}\right.
(a) Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Para o caso em que o sistema possui infinitas soluções, encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O sistema nas variáveis x,y,z\) é (assumindo que a segunda equação também é igual a \(1\), isto é, o sistema foi formulado de forma consistente): \[\begin{cases} x+2y+z=1,\\[4pt] x+3y+z=1,\\[4pt] 3x+7y+\left(a^{2}-1\right)z=a+1. \end{cases}
O enunciado pede:
(a) Determinar todos os valores de (a] para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) No caso em que há infinitas soluções, encontrar a solução geral do sistema.
Informações relevantes prontas para usar:
  • a é um parâmetro real.
  • As incógnitas são x,y,z.
  • Vamos trabalhar com operações elementares de linhas (eliminação de Gauss) para triangularizar e analisar consistência e liberdade de variáveis.]

Passo 2

Vou aplicar eliminação por linhas passo a passo. Escrevo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 7 & a^{2}-1 & a+1 \end{array}\right]
Primeira operação: eliminar o x da segunda linha usando a primeira linha:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
Calculando elemento a elemento:
R_2 = (1-1,\;3-2,\;1-1,\;1-1) = (0,\;1,\;0,\;0).
Então a matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 7 & a^{2}-1 & a+1 \end{array}\right].]

Passo 3

Agora elimino o x da terceira linha usando a primeira linha:
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos:
R_3 = (3-3,\;7-3\cdot2,\;a^{2}-1-3\cdot1,\;a+1-3\cdot1) = (0,\;1,\;a^{2}-4,\;a-2).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & a^{2}-4 & a-2 \end{array}\right].
Em seguida elimino o y da terceira linha usando a segunda:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
o que dá
R_3 = (0,\;1-1,\;a^{2}-4-0,\;a-2-0) = (0,\;0,\;a^{2}-4,\;a-2).
A matriz escalonada final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & a^{2}-4 & a-2 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpreto as equações que essa matriz representa. Da segunda linha temos
y=0.
Da terceira linha obtemos a equação
\left(a^{2}-4\right)z = a-2.
Da primeira linha, substituindo y=0, vem
x+z=1\quad\Rightarrow\quad x=1-z.
Agora analiso a equação \left(a^{2}-4\right)z = a-2. Observe que
a^{2}-4=(a-2)(a+2).
Há três casos possíveis para a:
  1. Caso a^{2}-4\neq 0, isto é, a\neq \pm 2.
    Nesse caso o coeficiente de z é não-nulo e podemos dividir:
z=\frac{a-2}{a^{2}-4}=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a+2},
pois aqui podemos cancelar (a-2) (já que a\neq2). Logo z é determinado, y=0 e x=1-z também é determinado. Assim para a\neq \pm 2 o sistema tem solução única.
  1. Caso a=2.
    Então a^{2}-4=0 e a-2=0. A terceira linha vira 0\cdot z = 0, que é verdade para qualquer z. Assim z fica livre (um parâmetro), y=0 e x=1-z. Há infinitas soluções quando a=2.
  2. Caso a=-2.
    Então a^{2}-4=0 e a-2=-4. A terceira linha vira 0\cdot z = -4, ou seja 0=-4, uma contradição. Portanto não existem soluções quando a=-2.

Passo 5

Resumo das conclusões e construção explícita da solução geral no caso de infinitas soluções.
  • Para a\neq \pm 2: sistema compatível determinado (solução única). A solução é
z=\frac{1}{a+2},\quad y=0,\quad x=1-\frac{1}{a+2}.
(Pode escrever x=\dfrac{a+1}{a+2} se preferir, fazendo a soma de frações.)
  • Para a=2: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções). Tomando parâmetro t\in\mathbb{R} para z (isto é, z=t), obtemos
y=0,\quad x=1-t,\quad z=t.
Em forma vetorial:
(x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,0,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Para a=-2: sistema incompatível (sem solução).

Resposta

(a) Sem solução: a=-2.
Com solução única: a\neq \pm 2.
Com infinitas soluções: a=2.
(b) Para a=2, a solução geral é
(x,y,z)=(1-t,\,0,\,t),\qquad t\in\mathbb{R}.

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