Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
r:\left\{\begin{array}{l} x=4+\lambda \\\ y=1-\lambda \\\ z=1+\lambda \end{array} \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=9-4 \mu \\\ y=2+\mu \\\ z=2-2 \mu \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede para verificar se elas são concorrentes; se forem, obter o ponto de interseção. As informações fornecidas são (estou copiando exatamente do enunciado):
r:\left\{\begin{array}{l} x=4+\lambda \\[4pt] y=1-\lambda \\[4pt] z=1+\lambda \end{array}\right. \qquad s:\left\{\begin{array}{l} x=9-4\mu \\[4pt] y=2+\mu \\[4pt] z=2-2\mu \end{array}\right.
O que o enunciado pergunta, em termos claros:
  • Verificar se as retas r e s têm um ponto em comum (são concorrentes).
  • Caso tenham, obter as coordenadas desse ponto de interseção.
    Os parâmetros são \lambda para a reta r e \mu para a reta s.]

Passo 2

Ideia do método (passo a passo do que vamos fazer): para que as retas concorram, deve existir um par (\lambda,\mu) tal que as coordenadas x,y,z de r coincidam com as de s. Então igualamos as três coordenadas e obtemos um sistema de três equações nas duas incógnitas \lambda e \mu. Se esse sistema for compatível (ou seja, existir solução comum que satisfaça as três equações), as retas se intersectam; se não houver solução que satisfaça todas as três, as retas não são concorrentes (podem ser reversas/escalares ou serem retas reversas, etc.). Vou montar esse sistema e resolver por substituição (método direto e simples).

Passo 3

Igualando as coordenadas de r\) e \(s\) obtemos o sistema \[\begin{cases} 4+\lambda = 9-4\mu,\\[4pt] 1-\lambda = 2+\mu,\\[4pt] 1+\lambda = 2-2\mu. \end{cases}
Cada linha corresponde à igualdade das componentes x\], \(y e z, respectivamente.]

Passo 4

Vamos manipular a segunda equação (a do y) para isolar \lambda em termos de \mu. A segunda equação é
1-\lambda = 2+\mu.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
-\lambda = 1+\mu.
Multiplicando por -1:
\lambda = -1-\mu.
Isso expressa \lambda em função de \mu.

Passo 5

Substituímos \lambda = -1-\mu na primeira equação (a do x):
4+\lambda = 9-4\mu.
Substituindo:
4+(-1-\mu)=9-4\mu.
Simplificando o lado esquerdo:
3-\mu = 9-4\mu.
Passamos os termos com \mu para um lado e os constantes para o outro:
- \mu +4\mu = 9-3.
3\mu = 6.
Logo
\mu = 2.

Passo 6

Com \mu=2 usamos \lambda = -1-\mu para obter \lambda:
\lambda = -1-2 = -3.

Passo 7

Devemos verificar se esses valores \lambda=-3 e \mu=2 satisfazem também a terceira equação (a do z), para garantir consistência das três igualdades. A terceira equação é
1+\lambda = 2-2\mu.
Substituindo \lambda=-3 e \mu=2:
1+(-3) = 2 - 2\cdot 2.
Calculando ambos os lados:
-2 = 2 - 4 = -2.
Como os dois lados coincidem, a terceira equação é satisfeita. Portanto o sistema todo é compatível e as retas têm interseção.

Passo 8

Agora encontramos o ponto de interseção substituindo \lambda=-3 em uma das representações (uso a reta r porque já tenho \lambda). Para r:
x = 4+\lambda = 4+(-3)=1,
y = 1-\lambda = 1-(-3)=4,
z = 1+\lambda = 1+(-3)=-2.
Portanto o ponto em comum é (1,4,-2).

Resposta

Sim.
(1,4,-2)

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