Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
\left\{\begin{aligned} 4 x-3 y-2 z & =8 \\\\ 3 x+2 y-4 z & =9 \\\\ 2 x+y+6 z & =10 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três incógnitas x,y,z e pede a solução (x,y,z). As equações são:
\begin{aligned} 4x-3y-2z&=8,\\[4pt] 3x+2y-4z&=9,\\[4pt] 2x+y+6z&=10. \end{aligned}
Informações relevantes que temos: são três equações lineares em três incógnitas e o objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Apresentar o sistema em forma de matriz aumentada e explicar a estratégia básica. A matriz aumentada correspondente é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -3 & -2 & 8\\[4pt] 3 & 2 & -4 & 9\\[4pt] 2 & 1 & 6 & 10 \end{array}\right].
Breve explicação do método que vou usar (sem detalhes técnicos complicados): a ideia é aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular (zeros abaixo da diagonal principal). Depois se usa substituição regressiva (back substitution) para encontrar as incógnitas. Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Eliminar x das equações 2 e 3 usando a primeira linha como pivô. O pivot inicial é 4 na primeira linha. Faço as operações
\text{R2} \leftarrow \text{R2} - \tfrac{3}{4}\text{R1},\qquad \text{R3} \leftarrow \text{R3} - \tfrac{1}{2}\text{R1}.
Calculemos passo a passo.
Para \text{R2}:
\tfrac{3}{4}\text{R1}=\left(\tfrac{3}{4}\cdot4,\;\tfrac{3}{4}\cdot(-3),\;\tfrac{3}{4}\cdot(-2),\;\tfrac{3}{4}\cdot8\right)=(3,\,-\tfrac{9}{4},\,-\tfrac{3}{2},\,6).
Agora \text{R2}-\tfrac{3}{4}\text{R1}:
(3,\,2,\,-4,\,9)-(3,\,-\tfrac{9}{4},\,-\tfrac{3}{2},\,6) =(0,\;2+\tfrac{9}{4},\;-4+\tfrac{3}{2},\;3).
Simplificando os termos:
2+\tfrac{9}{4}=\tfrac{8}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{17}{4},\qquad -4+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{8}{2}+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{5}{2}.
Logo a nova \text{R2} é
(0,\;\tfrac{17}{4},\;-\tfrac{5}{2},\;3).
Para \text{R3}:
\tfrac{1}{2}\text{R1}=(2,\,-\tfrac{3}{2},\,-1,\,4).
Agora \text{R3}-\tfrac{1}{2}\text{R1}:
(2,\,1,\,6,\,10)-(2,\,-\tfrac{3}{2},\,-1,\,4) =(0,\;1+\tfrac{3}{2},\;6+1,\;6).
Simplificando:
1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2},\qquad 6+1=7.
Logo a nova \text{R3} é
(0,\;\tfrac{5}{2},\;7,\;6).
A matriz aumentada após essas operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -3 & -2 & 8\\[4pt] 0 & \tfrac{17}{4} & -\tfrac{5}{2} & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{5}{2} & 7 & 6 \end{array}\right].]

Passo 4

Para simplificar os cálculos, multiplico \text{R2} por 4 e \text{R3} por 2. Isso é permitido (multiplicar uma linha por escalar não nulo), facilita a eliminação porque remove frações. Assim:
\text{R2}\leftarrow 4\cdot\text{R2}=(0,\,17,\,-10,\,12), \qquad \text{R3}\leftarrow 2\cdot\text{R3}=(0,\,5,\,14,\,12).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -3 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 17 & -10 & 12\\[4pt] 0 & 5 & 14 & 12 \end{array}\right].
Explicação curta: escalar linhas individualmente não muda as soluções, apenas transforma a linha numa forma equivalente mais fácil de manipular.]

Passo 5

Agora uso a segunda linha como pivô (valor 17 na coluna y) e elimino o y da terceira linha. Para evitar frações faço uma combinação inteira:
\text{R3} \leftarrow 17\cdot\text{R3} - 5\cdot\text{R2}.
Calcule os termos:
17\cdot\text{R3}=(0,\,85,\,238,\,204),\qquad 5\cdot\text{R2}=(0,\,85,\,-50,\,60).
Subtraindo:
17\cdot\text{R3}-5\cdot\text{R2}=(0,\,0,\,238-(-50),\,204-60)=(0,\,0,\,288,\,144).
Assim a terceira linha fica (0,0,288,144). Podemos dividir essa linha por 288 (operção válida) para obter um pivô 1 na coluna z:
\text{R3}\leftarrow \tfrac{1}{288}\text{R3}=(0,0,1,\tfrac{144}{288})=(0,0,1,\tfrac{1}{2}).
Isto nos dá imediatamente
z=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Com z=\tfrac{1}{2} faço substituição regressiva para obter y usando a segunda linha (na forma simples que tínhamos: \,17y-10z=12). Substituindo:
17y-10\cdot \tfrac{1}{2}=12.
Calcule o termo:
10\cdot\tfrac{1}{2}=5,
então
17y-5=12\quad\Rightarrow\quad 17y=17\quad\Rightarrow\quad y=1.
Explanação rápida: substituição regressiva significa usar a equação triangular (a última com uma única incógnita) para encontrar essa incógnita e depois subir para as equações anteriores.

Passo 7

Finalmente encontro x usando a primeira equação original \,4x-3y-2z=8 e substituindo y=1 e z=\tfrac{1}{2}:
4x-3\cdot1-2\cdot\tfrac{1}{2}=8.
Calcule os termos:
-3\cdot1=-3,\qquad -2\cdot\tfrac{1}{2}=-1,
então
4x-3-1=8\quad\Rightarrow\quad 4x-4=8\quad\Rightarrow\quad 4x=12\quad\Rightarrow\quad x=3.

Resposta

x=3
y=1
z=\tfrac{1}{2}

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