Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] :
y[n]=\operatorname{mediana}\{x[n-1], x[n], x[n+1]\},
onde mediana \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} é a função que retorna a mediana entre x_{1}, x_{2} e x_{3}. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é sem memória? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um sistema em tempo discreto cuja saída é
y[n]=\operatorname{mediana}\{\,x[n-1],\,x[n],\,x[n+1]\}
O conteúdo aqui é a propriedade de memória de um sistema: um sistema é sem memória (memoryless) se, para todo n, a saída y[n] depender apenas de x[n], ou seja, do valor de entrada no mesmo instante.

Passo 2

No filtro dado, y[n] depende não só de x[n], mas também de x[n-1] (instante passado) e de x[n+1] (instante futuro). Como há dependência em instantes diferentes de n, o sistema não satisfaz a definição de “sem memória”.

Resposta

O sistema não é sem memória, pois a saída em n depende de valores de entrada em instantes distintos de n.

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