Exercício 5 Considere o sistema linear
s: x-y-z-t & =0 2 x+y+t & =0 z-t & =0
(a) Mostre que as solução do sistema formam um subespaço, W, de R^4.
(b) Ache uma base e a dimensão do subespaço W.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo em
e pede (a) mostrar que o conjunto é um subespaço de , e (b) encontrar uma base e a dimensão de . Vamos usar a teoria de espaços vetoriais e resolução de sistemas lineares por substituição/Gauss.

Passo 2

Uma forma rápida de ver que W é subespaço de R^4 é notar que ele é o núcleo de uma aplicação linear
T:R^4toR^3, T(x,y,z,t)=l(x-y-z-t,;2x+y+t,;z-tr)
Como o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço, concluímos que W=ker T é subespaço de R^4.

Passo 3

Para achar explicitamente as soluções, faça eliminação:
  1. Da terceira equação vem
z - t = 0 Longrightarrow z = t
  1. Substituindo em x - y - z - t = 0
x - y - t - t = 0 Longrightarrow x = y + 2t
  1. Substitua x=y+2t na segunda equação 2x + y + t=0:
2(y+2t)+y+t=0 Longrightarrow 2y+4t+y+t=0 Longrightarrow 3y+5t=0 Longrightarrow y = -tfrac53,t
  1. Assim
x = y+2t = -tfrac53t +2t = tfrac13t, y = -tfrac53t, z = t, t = t
Logo a solução geral é
(x,y,z,t) = tl(tfrac13,,-tfrac53,,1,,1r), tinR

Passo 4

Vemos que todas as soluções são múltiplos do vetor
v = l(tfrac13,,-tfrac53,,1,,1r)
Tomando uma forma inteira, basta escolher t=3 para obter o vetor
v' = (1,,-5,,3,,3)
Portanto
W = ,lambda,v'mid lambdainR
e uma base natural é v'. Como há apenas um vetor na base, a dimensão de W é 1.

Resposta

Uma base de W é
(1,,-5,,3,,3),
e dim W = 1.

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