a) Considere o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por:
F(x, y)=(8+y^2-3 x^2, e^y+2 x y+y e^-2 y)
O campo vetorial H: R^3 R^3 dado por:
H(x, y, z)=(e^x+y^2+y z, 2 y e^x+y^2+x z, x y+z)
é irrotacional? (Justifique!) propto 0

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial H:R^3toR^3 definido por
H(x,y,z)=l(H1,H2,H3r) =l(e^x+y^2+y,z,,,2y,e^x+y^2+x,z,,,x,y+zr)
e pede para verificar se H é irrotacional, ou seja, se
nablatimesH=0

Passo 2

Lembrando que em R^3
nablatimesH =l(partial H3partial y-partial H2partial z,; partial H1partial z-partial H3partial x,; partial H2partial x-partial H1partial yr)
Vamos calcular cada componente e mostrar que todas são zero.

Passo 3

Primeira componente:
partial H3partial y =partialpartial y(x,y+z)=x, partial H2partial z =partialpartial zl(2y,e^x+y^2+x,zr)=x
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(nablatimesH)1 =x - x = 0

Passo 4

Segunda componente:
partial H1partial z =partialpartial z(e^x+y^2+y,z)=y, partial H3partial x =partialpartial x(x,y+z)=y
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(nablatimesH)2 =y - y = 0

Passo 5

Terceira componente:
partial H2partial x =partialpartial xl(2y,e^x+y^2+x,zr) =2y,e^x+y^2+z,
partial H1partial y =partialpartial y(e^x+y^2+y,z) =2y,e^x+y^2+z
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(nablatimesH)3 =(2y,e^x+y^2+z)-(2y,e^x+y^2+z)=0

Passo 6

Como todas as três componentes de nablatimesH são zero em R^3, concluímos que
nablatimesH=0,
ou seja, H é irrotacional.

Resposta

Sim. O campo H é irrotacional porque nablatimesH=0.

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