Exercício 4 Mostre que as matrizes
(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 2 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 1 1 & 0 ) e (ll 0 & 0 0 & 2 )
formam uma base de M2 times 2(R).

Passo 1

Neste exercício temos quatro matrizes em M2times2(R) e queremos mostrar que elas formam uma base. Ou seja, precisamos verificar que elas são linearmente independentes e que há exatamente 4 vetores no espaço, igual à dimensão dim M2times2(R)=4.

Passo 2

Como dim M2times2(R)=4, bastará provar que as 4 matrizes são linearmente independentes. Um conjunto de 4 vetores (aqui matrizes) num espaço de dimensão 4 é base se for linearmente independente.

Passo 3

Considere a combinação linear igual à matriz nula:

Passo 4

a1 & 1 0 & 0 + b2 & 1 0 & 0 + c0 & 1 1 & 0 + d0 & 0 0 & 2 = 0 & 0 0 & 0

Passo 5

Somando as matrizes do lado esquerdo, obtemos

Passo 6

a + 2b & (a + b + c) c & 2d = 0 & 0 0 & 0

Passo 7

Igualando cada entrada ao correspondente 0, formamos o sistema:
a + 2b = 0, a + b + c = 0, c = 0, 2d = 0

Passo 8

Do sistema vem primeiro c=0 e d=0. Substituindo em a + b + c =0 a + b=0, e em a + 2b=0 temos outro equação. Resolvendo essas duas, obtemos b=0 e a=0. Portanto só existe a solução trivial.

Passo 9

Concluímos que as 4 matrizes são linearmente independentes. Como elas são 4 em um espaço de dimensão 4, formam uma base de M2times2(R).

Resposta

As matrizes dadas formam uma base de M2times2(R) pois são linearmente independentes e há 4 delas em um espaço de dimensão 4.

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