Neste exercício temos quatro matrizes em M2times2(R) e queremos mostrar que elas formam uma base. Ou seja, precisamos verificar que elas são linearmente independentes e que há exatamente 4 vetores no espaço, igual à dimensão dim M2times2(R)=4.
Passo 2
Como dim M2times2(R)=4, bastará provar que as 4 matrizes são linearmente independentes. Um conjunto de 4 vetores (aqui matrizes) num espaço de dimensão 4 é base se for linearmente independente.
Passo 3
Considere a combinação linear igual à matriz nula:
Igualando cada entrada ao correspondente 0, formamos o sistema:
a + 2b = 0, a + b + c = 0, c = 0, 2d = 0
Passo 8
Do sistema vem primeiro c=0 e d=0. Substituindo em a + b + c =0 dá a + b=0, e em a + 2b=0 temos outro equação. Resolvendo essas duas, obtemos b=0 e a=0. Portanto só existe a solução trivial.
Passo 9
Concluímos que as 4 matrizes são linearmente independentes. Como elas são 4 em um espaço de dimensão 4, formam uma base de M2times2(R).
Resposta
As matrizes dadas formam uma base de M2times2(R) pois são linearmente independentes e há 4 delas em um espaço de dimensão 4.