Exercício 3 (D.L.4.8)
Considere o sistema não linear em R^2 dado por
c x1^prime=x2 xi(x1, x2) x2^prime=-x1 xi(x1, x2)
onde xi: R^2 R é de classe C^1.
a) Prove que toda órbita deste sistema ou está contido em uma circunferência centrada na origem ou é a própria origem (0,0) do plano.
b) Esboce as trajetórias deste sistema, realçando os pontos críticos e as órbitas periódicas, nos casos particulares
i. xi(x1, x2)=(x1^2+x2^2-1)(x2-x1^2-2)
ii. xi(x1, x2)=(1-x1^2-x2^2)(x2+x1^2+2)

Passo 1

O enunciado dá o sistema em
onde . A parte (a) pede para mostrar que cada órbita fica em uma circunferência centrada na origem (ou colapsa na origem). Na parte (b) devemos desenhar qualitativamente as trajetórias quando
i.\
ii.\ .
Vamos usar coordenadas polares e a ideia de que o raio é constante.

Passo 2

Defina r^2 = x1^2 + x2^2. Então
ddt(r^2) = 2x1x1' + 2x2x2' = 2x1l(x2,xir)+2x2l(-x1,xir) =0
Logo r(t)equiv r(0) é constante. Assim, toda solução com r(0)>0 permanece na circunferência de raio r(0); se r(0)=0, fica na origem.

Passo 3

Em coordenadas polares ,x1=rcostheta,;x2=rsintheta, temos
x1'=-rtheta'sintheta, x2'=rtheta'costheta
Comparando com x1'=x2,xi e x2'=-x1,xi obtemos
-rtheta'sintheta = rsintheta,xi, rtheta'costheta = -rcostheta,xi Longrightarrow theta' = -,xi(x1,x2)
Portanto o sinal de xi determina se a órbita gira no sentido horário ( xi>0) ou anti-horário ( xi<0).

Passo 4

Os pontos de equilíbrio satisfazem x1'=x2'=0. Como x1',x2' têm fator xi e também fator x1 ou x2, concluímos que os equilíbrios são
(x1,x2)=(0,0) ou xi(x1,x2)=0
Isto é, além da origem, todo ponto em que xi(x1,x2)=0 é um ponto crítico estacionário.

Passo 5

Caso (i): xi=(r^2-1)l(x2 - x1^2 -2r).
Os pontos críticos além da origem são
r^2-1=0l(r=1, círculo de raio 1r), x2 = x1^2+2l(parábolar) íá
Para cada circunferência r=R:
  • Se 0<R<1 ou 1<R<2, não há interseção com a parábola (pois x2<= R<2 e x1^2+2>=2), logo xi não muda de sinal na circunferência e não se zera: essas órbitas são periódicas. Em 0<R<1 temos r^2-1<0 e x2-x1^2-2<0, então xi>0 e o movimento é horário. Em 1<R<2 tem-se r^2-1>0 e x2-x1^2-2<0, logo xi<0 e o movimento é anti-horário.
  • Se R=1, toda a circunferência é equilíbrio (ali xi=0).
  • Se R>2, a circunferência corta a parábola em dois pontos onde xi=0; nesses pontos a trajetória para, pois chega a um equilíbrio. Entre esses pontos a órbita gira em um sentido e entre eles no sentido oposto, acabando por ser capturada nos equilíbrios da parábola.

Passo 6

Caso (ii): xi=(1-r^2)l(x2 + x1^2 +2r).
Os pontos críticos além da origem são
1-r^2=0l(r=1r), x2 = -,x1^2 -2l(parábola abaixo do eixo, com (x2<= -2)r) á
Para cada circunferência r=R:
  • Se 0<R<1 ou 1<R<2, não há interseção com a parábola (pois nela r>=2), então as órbitas são periódicas. Para 0<R<1 vale xi>0 (movimento horário); para 1<R<2 vale xi<0 (movimento anti-horário).
  • Se R=1, xi=0 em toda a circunferência, é equilíbrio.
  • Se R>2, a circunferência encontra a parábola em dois pontos de equilíbrio e, como antes, a trajetória é capturada nesses pontos.

Resposta

a) Pela derivada de r^2 conclui-se que r é constante, logo todas as órbitas (exceto a origem) ficam contidas em circunferências centradas na origem.
b) i. Equilíbrios: origem, círculo r=1, parábola x2=x1^2+2. Órbitas periódicas para 0<r<1 (horário) e 1<r<2 (anti-horário); para r>2 as trajetórias encontram a parábola e param.
ii. Equilíbrios: origem, círculo r=1, parábola x2=-x1^2-2. Órbitas periódicas para 0<r<1 (horário) e 1<r<2 (anti-horário); para r>2 as trajetórias são capturadas nos equilíbrios da parábola.

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