Exercício 3 (D.L.4.8)
Considere o sistema não linear em
dado por
onde
é de classe
.
a) Prove que toda órbita deste sistema ou está contido em uma circunferência centrada na origem ou é a própria origem
do plano.
b) Esboce as trajetórias deste sistema, realçando os pontos críticos e as órbitas periódicas, nos casos particulares
i.
ii.
Considere o sistema não linear em
a) Prove que toda órbita deste sistema ou está contido em uma circunferência centrada na origem ou é a própria origem
b) Esboce as trajetórias deste sistema, realçando os pontos críticos e as órbitas periódicas, nos casos particulares
i.
ii.
Passo 1
O enunciado dá o sistema em
onde . A parte (a) pede para mostrar que cada órbita fica em uma circunferência centrada na origem (ou colapsa na origem). Na parte (b) devemos desenhar qualitativamente as trajetórias quando
i.\
ii.\ .
Vamos usar coordenadas polares e a ideia de que o raio é constante.
ii.\
Vamos usar coordenadas polares e a ideia de que o raio é constante.
Passo 2
Defina
. Então
Logo
é constante. Assim, toda solução com
permanece na circunferência de raio
; se
, fica na origem.
Passo 3
Em coordenadas polares
, temos
Comparando com
e
obtemos
Portanto o sinal de
determina se a órbita gira no sentido horário (
) ou anti-horário (
).
Passo 4
Os pontos de equilíbrio satisfazem
. Como
têm fator
e também fator
ou
, concluímos que os equilíbrios são
Isto é, além da origem, todo ponto em que
é um ponto crítico estacionário.
Passo 5
Caso (i):
.
Os pontos críticos além da origem são
Os pontos críticos além da origem são
Para cada circunferência
:
- Se
ou , não há interseção com a parábola (pois e ), logo não muda de sinal na circunferência e não se zera: essas órbitas são periódicas. Em temos e , então e o movimento é horário. Em tem-se e , logo e o movimento é anti-horário. - Se
, toda a circunferência é equilíbrio (ali ). - Se
, a circunferência corta a parábola em dois pontos onde ; nesses pontos a trajetória para, pois chega a um equilíbrio. Entre esses pontos a órbita gira em um sentido e entre eles no sentido oposto, acabando por ser capturada nos equilíbrios da parábola.
Passo 6
Caso (ii):
.
Os pontos críticos além da origem são
Os pontos críticos além da origem são
Para cada circunferência
:
- Se
ou , não há interseção com a parábola (pois nela ), então as órbitas são periódicas. Para vale (movimento horário); para vale (movimento anti-horário). - Se
, em toda a circunferência, é equilíbrio. - Se
, a circunferência encontra a parábola em dois pontos de equilíbrio e, como antes, a trajetória é capturada nesses pontos.
Resposta
a) Pela derivada de
conclui-se que
é constante, logo todas as órbitas (exceto a origem) ficam contidas em circunferências centradas na origem.
b) i. Equilíbrios: origem, círculo , parábola
. Órbitas periódicas para
(horário) e
(anti-horário); para
as trajetórias encontram a parábola e param.
ii. Equilíbrios: origem, círculo , parábola
. Órbitas periódicas para
(horário) e
(anti-horário); para
as trajetórias são capturadas nos equilíbrios da parábola.
b) i. Equilíbrios: origem, círculo
ii. Equilíbrios: origem, círculo