Exercício 4 (D.L.4.10)
Mostre que uma conjugação topológica leva singularidades em singularidades e órbitas periódicas em órbitas periódicas, preservando o período.
Mostre que uma conjugação topológica leva singularidades em singularidades e órbitas periódicas em órbitas periódicas, preservando o período.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois sistemas dinâmicos discretos, digamos
\n
\n
e uma conjugação topológica
\n
que é homeomorfismo e satisfaz
e uma conjugação topológica
que é homeomorfismo e satisfaz
Precisamos mostrar duas coisas:
. Se
é uma singularidade de
(isto é, um ponto fixo), então
é singularidade de
.
. Se
tem órbita periódica de período mínimo
sob
, então
tem órbita periódica de período mínimo também
sob
.
Passo 2
Prova para singularidades (pontos fixos).
Suponha que satisfaça
Suponha que
Aplicando
em ambos os lados e usando
, obtém-se
Logo
, isto é,
é ponto fixo de
.
Passo 3
Prova para órbitas periódicas e preservação do período.
Seja tal que
tem período mínimo
sob
. Ou seja,
Seja
Então, usando a conjugação em iterações, temos
Isto mostra que
é periódico de período que divide
.
Para ver que o período não cai, suponha que exista com
Para ver que o período não cai, suponha que exista
Então
Como
é injetora (homeomorfismo), segue
,
o que contradiz a minimalidade de .
Portanto o período de sob
é exatamente
.
o que contradiz a minimalidade de
Portanto o período de
Resposta
Mostramos que sob conjugação topológica
qualquer ponto fixo de
vai para ponto fixo de
e qualquer órbita periódica de período
em
vai para órbita periódica de mesmo período
em
.