Exercício 4 (D.L.4.10)
Mostre que uma conjugação topológica leva singularidades em singularidades e órbitas periódicas em órbitas periódicas, preservando o período.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois sistemas dinâmicos discretos, digamos
fcolon X to X\n
gcolon Y to Y\n
e uma conjugação topológica
hcolon Xto Y\n
que é homeomorfismo e satisfaz
h circ f ;=; g circ h
Precisamos mostrar duas coisas:
1. Se ain X é uma singularidade de f (isto é, um ponto fixo), então h(a) é singularidade de g.
2. Se xin X tem órbita periódica de período mínimo n sob f, então h(x) tem órbita periódica de período mínimo também n sob g.

Passo 2

Prova para singularidades (pontos fixos).
Suponha que ain X satisfaça
f(a)=a
Aplicando h em ambos os lados e usando hcirc f = gcirc h, obtém-se
gl(h(a)r) ;=; l(gcirc hr)(a) ;=; l(hcirc fr)(a) ;=; hl(f(a)r) ;=; h(a)
Logo gl(h(a)r)=h(a), isto é, h(a) é ponto fixo de g.

Passo 3

Prova para órbitas periódicas e preservação do período.
Seja xin X tal que x tem período mínimo n sob f. Ou seja,
f^n(x)=x e f^k(x)neq xforall,1<= k<n
Então, usando a conjugação em iterações, temos
g^nl(h(x)r) = l(gcirc g^n-1r)l(h(x)r) = l(hcirc fr)l(f^n-1(x)r) = hl(f^n(x)r) = h(x)
Isto mostra que h(x) é periódico de período que divide n.
Para ver que o período não cai, suponha que exista 1<= k<n com
g^kl(h(x)r)=h(x)
Então
hl(f^k(x)r) = g^kl(h(x)r) = h(x)
Como h é injetora (homeomorfismo), segue f^k(x)=x,
o que contradiz a minimalidade de n.
Portanto o período de h(x) sob g é exatamente n.

Resposta

Mostramos que sob conjugação topológica h qualquer ponto fixo de f vai para ponto fixo de g e qualquer órbita periódica de período n em f vai para órbita periódica de mesmo período n em g.

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