Exercício 1. Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é
G(s)=\frac{100}{(s+3)}
Obtenha o erro estacionário desse sistema em malha fechada quando ele é submetido a uma entrada em rampa unitária dada, para t \geq 0, por
r(t)=t

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é
G(s)=\frac{100}{s+3}
e a entrada de referência é uma rampa unitária r(t)=t (para t\ge0), cujo transformada de Laplace é
R(s)=\frac{1}{s^2}.
O objetivo é encontrar o erro estacionário e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t). Para isso vamos usar o teorema do valor final e a expressão de E(s) em malha fechada.

Passo 2

Em sistemas de realimentação unitária, o sinal de erro em Laplace é
E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.
Pelo teorema do valor final, o erro estacionário é
e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to0}s\,E(s).

Passo 3

Substituindo R(s)=1/s^2 e G(s)=100/(s+3) na expressão de E(s), obtemos
E(s)=\frac{\tfrac{1}{s^2}}{1+\dfrac{100}{s+3}} =\frac{1}{s^2}\,\frac{s+3}{s+3+100} =\frac{s+3}{s^2\,(s+103)}.

Passo 4

Aplicando o teorema do valor final:
s\,E(s) =s\;\frac{s+3}{s^2\,(s+103)} =\frac{s+3}{s\,(s+103)}.
Agora fazemos s\to0:
\lim_{s\to0}\frac{s+3}{s\,(s+103)} =\frac{3}{0\cdot 103}=\infty.
Isso mostra que o erro estacionário é infinito. Na prática, sendo um sistema de tipo 0 (sem polos em zero), ele não consegue acompanhar uma rampa e o erro cresce sem limite.

Resposta

O erro estacionário para entrada rampa unitária é infinito ( \infty).

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