Tem-se um processo no qual a taxa de fluxo de saída \mathrm{Q} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} através da válvula de fluxo de saída está relacionada à altura de nível de líquido H por: 0,01 \times H^{2}. Admitir também que quando a taxa Qi de fluxo de entrada é 0,015 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a altura de nível de líquido permanece constante. Em \mathrm{t}=0 a válvula do fluxo de entrada está fechada e portanto não há nenhum fluxo de entrada em t \geq 0. Achar o tempo necessário para esvaziar o tanque em metade da altura de nível original de líquido. Dados:
Capacitância do tanque C é 2 \mathrm{~m}^{2}.
A equação para o sistema em t>0 é : -C d H=Q d t

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com capacitância C=2\\ \mathrm m^2. O fluxo de saída em função da altura H é
Q_{\text{out}}=0{,}01\,H^2.
Em regime permanente, com fluxo de entrada Q_i=0{,}015\\ \mathrm{m^3/s}, a altura atinge um valor constante H_0. A partir de t=0, fecha-se a entrada ( Q_i=0) e o tanque esvazia. Queremos o tempo até H=H_0/2. O conteúdo é modelo dinâmico de balanço de massa e equação diferencial de primeira ordem separável.

Passo 2

Determinar a altura inicial H_0 em regime permanente: igualamos fluxo de entrada e saída,
Q_i=Q_{\text{out}} \quad\Longrightarrow\quad 0{,}015 =0{,}01\,H_0^2 \quad\Longrightarrow\quad H_0^2 = \frac{0{,}015}{0{,}01} =1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad H_0 = \sqrt{1{,}5}.

Passo 3

Para t>0, o balanço de massa dá
C\,\frac{dH}{dt} = -Q_{\text{out}} = -0{,}01\,H^2.
Reescrevendo em forma separável,
\frac{dH}{H^2} = -\frac{0{,}01}{C}\,dt.

Passo 4

Integramos de H_0 a H_0/2 no lado esquerdo e de 0 a t no direito:
\int_{H_0}^{H_0/2} H^{-2}\,dH = -\frac{0{,}01}{C}\int_{0}^{t} dt.
O lado esquerdo é
\Bigl[-\,H^{-1}\Bigr]_{H_0}^{H_0/2} = -\frac{1}{H_0/2} + \frac{1}{H_0} = -\frac{2}{H_0} + \frac{1}{H_0} = -\frac{1}{H_0}.
Logo,
-\frac{1}{H_0} = -\frac{0{,}01}{C}\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{H_0} = \frac{0{,}01}{C}\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{C}{0{,}01}\,\frac{1}{H_0}.

Passo 5

Substituindo C=2 e H_0=\sqrt{1{,}5}:
t = \frac{2}{0{,}01}\,\frac{1}{\sqrt{1{,}5}} = \frac{200}{\sqrt{1{,}5}} \approx 163{,}3\\ \text{s}.

Resposta

O tempo necessário para a altura cair à metade é aproximadamente 163{,}3 segundos.

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