Exercício 3. Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada, sendo a função de transferência de ramo direto dada por
e sabendo que o sistema é de realimentação unitária, isto é,
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de malha fechada com função de transferência em malha aberta
e pede o lugar das raízes ao variar
. Para resolver, vamos usar as regras de desenho de root locus: identificar polos e zeros, determinar segmentos no eixo real, achar assimptotas, centróide e ângulos, e localizar ponto de encontro (breakaway).
Passo 2
Escrevemos a equação característica do fecho de malha
Multiplicando, obtemos
Passo 3
Listamos polos e zeros do sistema em malha aberta:
— Polos em e
.
— Não há zeros finitos (dois zeros vão para o infinito).
— Polos em
— Não há zeros finitos (dois zeros vão para o infinito).
Passo 4
Determinamos os trechos do eixo real que pertencem ao locus. Em qualquer ponto real
, contamos quantos polos e zeros abertos estão à direita de
. Se esse número for ímpar, o eixo real faz parte do locus.
— Para : há
polos à direita (par)
fora.
— Para : há
polo à direita (ímpar)
dentro.
— Para : há
polos à direita (par)
fora.
Logo, o locus está no segmento real entre e
.
— Para
— Para
— Para
Logo, o locus está no segmento real entre
Passo 5
Calculamos as assimptotas que mostram para onde vão as raízes quando
. O número de assimptotas é
.
— O centróide das assimptotas é
— O centróide das assimptotas é
— Os ângulos das assimptotas são
isto é,
para cima e
(ou
) para baixo, ambas centradas em
.
Passo 6
O ponto de breakaway no eixo real (onde os ramos se unem) satisfaz a condição
. Como da caracterização temos
derivamos em relação a
:
Esse valor está entre
e
, então é o breakaway.
Passo 7
Resumo do comportamento dos polos em malha fechada:
— Em , os polos estão em
e
.
— Para , ambos se aproximam no real entre
e
, até se encontrarem em
quando
.
— Para , eles formam um par complexo conjugado com parte real fixa em
e parte imaginária crescente conforme
aumenta, seguindo as assimptotas verticalmente.
— Em
— Para
— Para
Resposta
O lugar das raízes consiste em:
(a) um ramo no eixo real entre e
que se encontra em
quando
;
(b) para , dois ramos simétricos partindo de
em direções de
e
, indo para o infinito segundo as assimptotas centradas em
.
(a) um ramo no eixo real entre
(b) para