Exercício 3. Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada, sendo a função de transferência de ramo direto dada por
G(s)=\frac{K}{(s+1) \cdot(s+3)}
e sabendo que o sistema é de realimentação unitária, isto é,
H(s)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de malha fechada com função de transferência em malha aberta
G(s)H(s)=\frac{K}{(s+1)(s+3)}\cdot1
e pede o lugar das raízes ao variar K\ge0. Para resolver, vamos usar as regras de desenho de root locus: identificar polos e zeros, determinar segmentos no eixo real, achar assimptotas, centróide e ângulos, e localizar ponto de encontro (breakaway).

Passo 2

Escrevemos a equação característica do fecho de malha
1 + G(s)H(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{K}{(s+1)(s+3)}=0
Multiplicando, obtemos
(s+1)(s+3) + K = 0 \quad\Longrightarrow\quad s^2 + 4s + (3 + K)=0.

Passo 3

Listamos polos e zeros do sistema em malha aberta:
— Polos em s=-1 e s=-3.
— Não há zeros finitos (dois zeros vão para o infinito).

Passo 4

Determinamos os trechos do eixo real que pertencem ao locus. Em qualquer ponto real s, contamos quantos polos e zeros abertos estão à direita de s. Se esse número for ímpar, o eixo real faz parte do locus.
— Para s>-1: há 0 polos à direita (par) \Rightarrow fora.
— Para -3<s<-1: há 1 polo à direita (ímpar) \Rightarrow dentro.
— Para s<-3: há 2 polos à direita (par) \Rightarrow fora.
Logo, o locus está no segmento real entre -3 e -1.

Passo 5

Calculamos as assimptotas que mostram para onde vão as raízes quando K\to\infty. O número de assimptotas é n-m=2-0=2.
— O centróide das assimptotas é
\sigma_a = \frac{\sum\text{polos} - \sum\text{zeros}}{n-m} = \frac{(-1)+(-3)-0}{2} = -2.
— Os ângulos das assimptotas são
\phi_q = \frac{(2q+1)\pi}{n-m} = \frac{(2q+1)\pi}{2}, \quad q=0,1
isto é, \phi_0=90^\circ para cima e \phi_1=270^\circ (ou -90^\circ) para baixo, ambas centradas em \Re(s)=-2.

Passo 6

O ponto de breakaway no eixo real (onde os ramos se unem) satisfaz a condição \frac{dK}{ds}=0. Como da caracterização temos
K = -\bigl[(s+1)(s+3)\bigr],
derivamos em relação a s:
\frac{dK}{ds} = -\bigl[2s + 4\bigr] = 0 \quad\Longrightarrow\quad s=-2.
Esse valor está entre -3 e -1, então é o breakaway.

Passo 7

Resumo do comportamento dos polos em malha fechada:
— Em K=0, os polos estão em -1 e -3.
— Para 0<K<1, ambos se aproximam no real entre -3 e -1, até se encontrarem em s=-2 quando K=1.
— Para K>1, eles formam um par complexo conjugado com parte real fixa em -2 e parte imaginária crescente conforme K aumenta, seguindo as assimptotas verticalmente.

Resposta

O lugar das raízes consiste em:
(a) um ramo no eixo real entre s=-3 e s=-1 que se encontra em s=-2 quando K=1;
(b) para K>1, dois ramos simétricos partindo de s=-2 em direções de +90^\circ e -90^\circ, indo para o infinito segundo as assimptotas centradas em \Re(s)=-2.

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