Um tanque de nível apresenta as seguintes propriedades: Dimensões: H=4 m ; D=1,6 m
Características operacionais no estado estacionário:
q_{e}^{R P}=17 \times h_{R P}^{0,56}\left(q_{e}^{R P} \rightarrow[L / \min ] ; h_{R P} \rightarrow[m]\right).
Encontrar as equações para a constante de tempo \tau do processo e para a resistência R. Calcular \tau, R quando o nível de operação estacionário for de 1,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá um tanque de seção circular de diâmetro D=1{,}6\\ \mathrm m e altura H=4\\ \mathrm m. Em regime estacionário há uma relação entre a vazão de saída q_o e o nível h:
q_o^{RP}=17\,(h_{RP})^{0,56},
onde q_o^{RP} está em \mathrm{L/min} e h_{RP} em \mathrm m.
Conteúdo: modelagem dinâmica de tanques (equação de balanço de massa), linearização em torno do ponto de operação para definir resistência estática R e constante de tempo \tau.

Passo 2

Escrevemos a equação dinâmica de balanço de massa no tanque, chamando de q_e(t) a vazão de entrada e de q_o(h) a vazão de saída dependente do nível:
A\,\frac{dh(t)}{dt} \;=\; q_e(t)\;-\;q_o\bigl(h(t)\bigr).
Em regime permanente dh/dt=0 e q_e^{RP}=q_o^{RP}.

Passo 3

Para obter o comportamento linear próximo de h_{RP}, fazemos a expansão de primeira ordem de q_o(h) em torno de h_{RP}:
q_o(h)\approx q_o^{RP} + \left.\frac{dq_o}{dh}\right|_{h_{RP}}\,(h-h_{RP}).
Definimos a “inclinação estática”
k \;=\;\left.\frac{dq_o}{dh}\right|_{h_{RP}}
e a resistência estática
R \;=\;\frac{1}{k}.
Substituindo na dinâmica linearizada (tomando variações \Delta h=h-h_{RP},\,\Delta q_e=q_e-q_e^{RP}) obtém-se um sistema de 1ª ordem com
\tau \;=\;A\,R.

Passo 4

Calculamos a área da seção transversal do tanque:
A \;=\;\frac{\pi D^2}{4} \;=\;\frac{\pi\,(1{,}6)^2}{4}\\ \mathrm m^2 \;=\;0{,}64\,\pi\\ \mathrm m^2.
Para expressar A em \mathrm{L/m} (já que 1\\ \mathrm m^3=1000\\ \mathrm L):
A =0{,}64\,\pi\\ \mathrm m^2 \;\times\;1000\;\mathrm{L/m^3} \;=\;640\pi\\ \mathrm{L/m} \approx2010{,}6\\ \mathrm{L/m}.

Passo 5

Derivamos q_o(h)=17\,h^{0,56}:
\frac{dq_o}{dh} =17\cdot0{,}56\;h^{0,56-1} =9{,}52\;h^{-0,44}\quad\bigl[\mathrm{L/min\!\cdot}m^{-1}\bigr].
No ponto de operação h_{RP}=1{,}5\\ \mathrm m,
k =9{,}52\,(1{,}5)^{-0,44}.
Calculando numericamente:
(1{,}5)^{-0,44}\approx0{,}8367 \quad\Longrightarrow\quad k\approx9{,}52\times0{,}8367\approx7{,}97\\ \frac{\mathrm{L/min}}{\mathrm m}.
Logo
R=\frac1{k}\approx\frac1{7{,}97}\approx0{,}1255\\ \frac{\mathrm m}{\mathrm{L/min}}.

Passo 6

Finalmente obtemos a constante de tempo
\tau =A\,R \approx2010{,}6\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm m}\;\times\;0{,}1255\\ \frac{\mathrm m}{\mathrm{L/min}} \approx252{,}3\\ \mathrm{min}.

Resposta

Resistência estática
R = \frac{1}{17\cdot0,56\,h_{RP}^{-0,44}} \quad\text{e numericamente em }h_{RP}=1{,}5\\ \mathrm m\,,\;R\approx0{,}1255\\ \frac{\mathrm m}{\mathrm{L/min}}.
Constante de tempo
\tau = A\,R = \frac{\pi D^2}{4}\,R \quad\text{e numericamente }\tau\approx252{,}3\\ \mathrm{min}.

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