QUESTÃO 04:Obtenha a representação no espaço de estados na forma de variáveis de fase para o sistema mostrado abaixo.
\xrightarrow{R(s)} \frac{s^{4}+2 s^{3}+12 s^{2}+7 s+6}{s^{5}+9 s^{4}+13 s^{3}+8 s^{2}} \quad C(s)

Passo 1

O enunciado pede a representação em espaço de estados na forma de variáveis de fase (canonical controlável) para o sistema de função de transferência
G(s)=\frac{s^{4}+2s^{3}+12s^{2}+7s+6}{s^{5}+9s^{4}+13s^{3}+8s^{2}}.
O conteúdo é construção do modelo de espaço de estados a partir de um polinômio no numerador e no denominador, usando a forma canônica controlável.

Passo 2

Escrevemos o polinômio do denominador em forma monômica de grau n=5:
s^{5}+9s^{4}+13s^{3}+8s^{2}+0\cdot s+0.
Daí extraímos os coeficientes
\displaystyle a_{1}=9,\;a_{2}=13,\;a_{3}=8,\;a_{4}=0,\;a_{5}=0.

Passo 3

Escrevemos o polinômio do numerador em grau n-1=4:
s^{4}+2s^{3}+12s^{2}+7s+6.
Isso nos dá os coeficientes
\displaystyle b_{0}=1,\;b_{1}=2,\;b_{2}=12,\;b_{3}=7,\;b_{4}=6.

Passo 4

Na forma canônica controlável definimos
\displaystyle \dot x = A\,x + B\,u,\quad y = C\,x + D\,u,
com as matrizes
A = \begin{pmatrix} -\,a_{1} & -\,a_{2} & -\,a_{3} & -\,a_{4} & -\,a_{5} \\[6pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -13 & -8 & 0 & 0 \\[3pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
B = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
C = \begin{pmatrix}b_{0} & b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 12 & 7 & 6\end{pmatrix},
D = 0.]

Resposta

A representação em espaço de estados na forma de variáveis de fase (canônico controlável) é
\dot x = \begin{pmatrix} -9 & -13 & -8 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}x + \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}u, \quad y = \begin{pmatrix}1 & 2 & 12 & 7 & 6\end{pmatrix}x.

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