Exercício 3-8: Considere o sistema de três massas e quatro molas, esse sistema está horizontal e nas extremidades estão acoplados a paredes. A mola 1 está fixada na parede e na massa 1, a mola 2 está fixada na massa 1 e na massa 2 , a mola 3 está fixada na massa 2 e na massa 3, a mola 4 está fixada na massa 3 e na parede extrema. Determine as equações de movimento (), para cada massa, utilize o diagrama de corpo livre. Mostre em detalhes o conjunto de equações diferenciais resultantes e escreva as três equações na forma matricial: vetor aceleração]+[matriz de rigidez]•[vetor deslocamentos]
Determine os deslocamentos em um instante específico em que as acelerações são e . Considere .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pegando aqui. Temos um sistema com três massas e quatro molas alinhadas horizontalmente, presas nas extremidades a paredes. Cada mola está conectada entre uma parede e uma massa ou entre duas massas. Nosso objetivo é encontrar as equações de movimento para cada massa usando a segunda lei de Newton (). Para isso, vamos precisar das constantes das molas () e das massas (). Também vamos montar essas equações em uma forma matricial e, por fim, determinar os deslocamentos em um instante específico com acelerações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada massa. Para isso, vamos desenhar o diagrama de corpo livre de cada uma.
Massa 1 (): Está conectada à mola 1 e à mola 2.
Massa 2 (): Está conectada à mola 2 e à mola 3.
Massa 3 (): Está conectada à mola 3 e à mola 4.
Cada mola exerce uma força de acordo com a Lei de Hooke: , onde é a constante da mola e é o deslocamento.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton () para cada massa.
Para :
A mola 1 puxa para a esquerda: .
A mola 2 puxa para a direita: .
Então, a equação fica:
Simplificando:
Para :
A mola 2 puxa para a esquerda: .
A mola 3 puxa para a direita: .
Então, a equação fica:
Para :
A mola 3 puxa para a esquerda: .
A mola 4 puxa para a direita: .
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos organizar essas equações de forma mais clara: