Exercício 3-8: Considere o sistema de três massas e quatro molas, esse sistema está horizontal e nas extremidades estão acoplados a paredes. A mola 1 está fixada na parede e na massa 1, a mola 2 está fixada na massa 1 e na massa 2 , a mola 3 está fixada na massa 2 e na massa 3, a mola 4 está fixada na massa 3 e na parede extrema. Determine as equações de movimento ( Sigma F=m a), para cada massa, utilize o diagrama de corpo livre. Mostre em detalhes o conjunto de equações diferenciais resultantes e escreva as três equações na forma matricial:
0=[ vetor aceleração]+[matriz de rigidez]•[vetor deslocamentos]
Determine os deslocamentos em um instante específico em que as acelerações são dotx1= 0,4 m / s^2, dotx2=0,0 m / s^2 e dotx3=0,0 m / s^2. Considere k1=k4=10 N / m, k2=k3=30 N / m e m1=m2=m3=m4=2 kg.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pegando aqui. Temos um sistema com três massas e quatro molas alinhadas horizontalmente, presas nas extremidades a paredes. Cada mola está conectada entre uma parede e uma massa ou entre duas massas. Nosso objetivo é encontrar as equações de movimento para cada massa usando a segunda lei de Newton ( Sigma F = m cdot a). Para isso, vamos precisar das constantes das molas ( k1, k2, k3, k4) e das massas ( m1, m2, m3). Também vamos montar essas equações em uma forma matricial e, por fim, determinar os deslocamentos em um instante específico com acelerações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada massa. Para isso, vamos desenhar o diagrama de corpo livre de cada uma.
  • Massa 1 ( m1): Está conectada à mola 1 e à mola 2.
  • Massa 2 ( m2): Está conectada à mola 2 e à mola 3.
  • Massa 3 ( m3): Está conectada à mola 3 e à mola 4.
Cada mola exerce uma força de acordo com a Lei de Hooke: F = -k cdot x, onde k é a constante da mola e x é o deslocamento.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton ( Sigma F = m cdot a) para cada massa.
Para m1:
  • A mola 1 puxa para a esquerda: -k1 cdot x1.
  • A mola 2 puxa para a direita: k2 cdot (x2 - x1).
Então, a equação fica:
-m1 cdot ddotx1 = -k1 cdot x1 + k2 cdot (x2 - x1)
Simplificando:
m1 cdot ddotx1 = k1 cdot x1 - k2 cdot (x2 - x1)
Para m2:
  • A mola 2 puxa para a esquerda: -k2 cdot (x2 - x1).
  • A mola 3 puxa para a direita: k3 cdot (x3 - x2).
Então, a equação fica:
m2 cdot ddotx2 = k2 cdot (x2 - x1) - k3 cdot (x3 - x2)
Para m3:
  • A mola 3 puxa para a esquerda: -k3 cdot (x3 - x2).
  • A mola 4 puxa para a direita: k4 cdot x3.
Então, a equação fica:
m3 cdot ddotx3 = k3 cdot (x3 - x2) - k4 cdot x3

Passo 4

Agora, vamos organizar essas equações de forma mais clara:
m1 cdot ddotx1 = (k1 + k2) cdot x1 - k2 cdot x2 m2 cdot ddotx2 = -k2 cdot x1 + (k2 + k3) cdot x2 - k3 cdot x3 m3 cdot ddotx3 = -k3 cdot x2 + (k3 + k4) cdot x3

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos:
  • k1 = k4 = 10 , N/m
  • k2 = k3 = 30 , N/m
  • m1 = m2 = m3 = 2 , kg
Substituindo:
2 cdot ddotx1 = (10 + 30) cdot x1 - 30 cdot x2 2 cdot ddotx2 = -30 cdot x1 + (30 + 30) cdot x2 - 30 cdot x3 2 cdot ddotx3 = -30 cdot x2 + (30 + 10) cdot x3
Simplificando:
2 cdot ddotx1 = 40 cdot x1 - 30 cdot x2 2 cdot ddotx2 = -30 cdot x1 + 60 cdot x2 - 30 cdot x3 2 cdot ddotx3 = -30 cdot x2 + 40 cdot x3

Passo 6

Agora, vamos dividir cada equação por 2 para simplificar:
ddotx1 = 20 cdot x1 - 15 cdot x2 ddotx2 = -15 cdot x1 + 30 cdot x2 - 15 cdot x3 ddotx3 = -15 cdot x2 + 20 cdot x3

Passo 7

Vamos colocar essas equações em forma matricial. Primeiro, organizamos os termos:
ddotx1 - 20 cdot x1 + 15 cdot x2 = 0 ddotx2 + 15 cdot x1 - 30 cdot x2 + 15 cdot x3 = 0 ddotx3 + 15 cdot x2 - 20 cdot x3 = 0
Agora, escrevemos na forma:
0 = ddotx1 ddotx2 ddotx3 + 20 & -15 & 0 -15 & 30 & -15 0 & -15 & 20 cdot x1 x2 x3

Passo 8

Agora que temos a forma matricial das equações de movimento, vamos usar os dados do instante específico para encontrar os deslocamentos.
Sabemos que:
ddotx1 = 0,4 , m/s^2 ddotx2 = 0,0 , m/s^2 ddotx3 = 0,0 , m/s^2
Substituindo na forma matricial:
0 = 0,4 0,0 0,0 + 20 & -15 & 0 -15 & 30 & -15 0 & -15 & 20 cdot x1 x2 x3

Passo 9

Vamos escrever isso como um sistema de equações:
0 = 0,4 + 20 cdot x1 - 15 cdot x2 0 = 0,0 - 15 cdot x1 + 30 cdot x2 - 15 cdot x3 0 = 0,0 - 15 cdot x2 + 20 cdot x3
Simplificando:
20 cdot x1 - 15 cdot x2 = -0,4 -15 cdot x1 + 30 cdot x2 - 15 cdot x3 = 0 -15 cdot x2 + 20 cdot x3 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição ou matriz inversa. Vamos resolver passo a passo.
Da terceira equação:
-15 cdot x2 + 20 cdot x3 = 0 implies x3 = 1520 cdot x2 = 34 cdot x2

Passo 11

Substituindo x3 = 34 cdot x2 na segunda equação:
-15 cdot x1 + 30 cdot x2 - 15 cdot (34 cdot x2) = 0
Simplificando:
-15 cdot x1 + 30 cdot x2 - 454 cdot x2 = 0 implies -15 cdot x1 + (30 - 11,25) cdot x2 = 0 implies -15 cdot x1 + 18,75 cdot x2 = 0 implies 15 cdot x1 = 18,75 cdot x2 implies x1 = 18,7515 cdot x2 = 1,25 cdot x2

Passo 12

Agora, substituímos x1 = 1,25 cdot x2 na primeira equação:
20 cdot (1,25 cdot x2) - 15 cdot x2 = -0,4 implies 25 cdot x2 - 15 cdot x2 = -0,4 implies 10 cdot x2 = -0,4 implies x2 = -0,410 = -0,04 , m

Passo 13

Agora que temos x2, podemos encontrar x1 e x3:
x1 = 1,25 cdot (-0,04) = -0,05 , m x3 = 34 cdot (-0,04) = -0,03 , m

Resposta

Os deslocamentos no instante considerado são:
x1 = -0,05 , m x2 = -0,04 , m x3 = -0,03 , m

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