Determine os algarismos x, y e z em cada caso para que os números abaixo, representados na base 10 , tenham a propriedade mencionada
45xy é divisível por 4 e por 9 ;

Passo 1

O enunciado pede para achar os dígitos x e y de modo que o número de quatro algarismos 45xy seja divisível por 4 e por 9. Vamos usar as regras de divisibilidade:
  • Para 9: a soma dos dígitos deve ser múltipla de 9.
  • Para 4: os dois últimos dígitos formam um número múltiplo de 4.

Passo 2

Aplicando a regra de divisibilidade por 9 em 45xy, a soma dos dígitos é
4 + 5 + x + y = 9 + x + y
Para ser múltiplo de 9, precisamos de
9 + x + y equiv 0 pmod9 Longrightarrow x + y equiv 0 pmod9
Como x e y são dígitos, x+y só pode ser 0, 9 ou 18.

Passo 3

Aplicando a regra de divisibilidade por 4, o número formado pelos dois últimos dígitos, isto é xy, deve ser múltiplo de 4. Vamos listar os múltiplos de 4 de 00 a 99 cujos dígitos somam 0, 9 ou 18.

Passo 4

  1. Se x+y=0, então obrigatoriamente (x,y)=(0,0) e xy=00, que é múltiplo de 4.
  2. Se x+y=9, procuramos entre os múltiplos de 4 aqueles cuja soma dos dígitos seja 9. São:
    xy=36 (pois 3+6=9) e xy=72 (pois 7+2=9).
  3. Se x+y=18, a única possibilidade é (x,y)=(9,9), mas xy=99 não é múltiplo de 4.
Portanto, as soluções são as combinações encontradas nos casos 1 e 2.

Resposta

(x,y)=(0,0),;(3,6),;(7,2)

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