Determine os algarismos x, y e z em cada caso para que os números abaixo, representados na base 10 , tenham a propriedade mencionada
13xy45z é divisível por 8 , por 9 e por 11 .

Passo 1

O enunciado pede para achar dígitos x,y,z de modo que o número de sete algarismos
N = 1,3,x,y,4,5,z
seja simultaneamente divisível por 8, por 9 e por 11. Vamos usar as regras de divisibilidade:
  1. Por 8: basta que os três últimos algarismos formem um múltiplo de 8.
  2. Por 9: a soma dos dígitos de N deve ser múltipla de 9.
  3. Por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições alternadas deve ser múltipla de 11.

Passo 2

Regra de 8: olhamos os três últimos dígitos, que são 4, 5 e z, formando o número
450 + z
Para ser múltiplo de 8 tem de valer
450 + z equiv 0 pmod8
Como 450equiv 2pmod8, precisamos de 2+zequiv0pmod8, logo zequiv6pmod8. Entre 0<= z<=9 só cabe z=6.

Passo 3

Regra de 11: indexando os dígitos de N da direita para a esquerda, as posições ímpares são z, 4, x, 1 e as pares são 5, y, 3. A diferença
(ímpar) - (par) = (x + z + 4 + 1);-;(y + 5 + 3) = (x+z+5) - (y+8) = x - y + z - 3 í
deve ser múltiplo de 11, isto é
x - y + z - 3 = 11k, kinZ
Como z=6, fica
x - y + 6 - 3 = x - y + 3 = 11k
As únicas possibilidades com 0<= x,y<=9 são
x - y + 3 = 0, x - y + 3 = 11, x - y + 3 = -11
A equação x - y + 3 = 0 leva a y = x+3, mas não encaixa com a regra de 9 (ver próximo passo). A equação x - y + 3 = -11 daria y=x+14, impossível para dígito. A única viável é
x - y + 3 = 11 Longrightarrow x - y = 8 Longrightarrow y = x - 8

Passo 4

Regra de 9: a soma de todos os dígitos de N deve ser múltipla de 9. Como
1+3+x+y+4+5+z = 13 + x + y + z
e já temos z=6, a soma é
13 + x + y + 6 = 19 + x + y
Portanto
19 + x + y equiv 0 pmod9 Longrightarrow x + y equiv -19 equiv 8 pmod9
Juntando com y = x - 8, temos
x + (x - 8) equiv 8 pmod9 Longrightarrow 2x - 8 equiv 8 pmod9 Longrightarrow 2x equiv 16 equiv 7 pmod9
Como o inverso de 2 módulo 9 é 5, segue xequiv5cdot7=35equiv8pmod9. No intervalo de dígitos, x=8. Então
y = x - 8 = 8 - 8 = 0, z = 6

Resposta

x=8, y=0, z=6.

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