Determine os algarismos
e
em cada caso para que os números abaixo, representados na base 10 , tenham a propriedade mencionada
é divisível por 8 , por 9 e por 11 .
Passo 1
O enunciado pede para achar dígitos
de modo que o número de sete algarismos
seja simultaneamente divisível por 8, por 9 e por 11. Vamos usar as regras de divisibilidade:
- Por 8: basta que os três últimos algarismos formem um múltiplo de 8.
- Por 9: a soma dos dígitos de
deve ser múltipla de 9. - Por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições alternadas deve ser múltipla de 11.
Passo 2
Regra de 8: olhamos os três últimos dígitos, que são
,
e
, formando o número
Para ser múltiplo de 8 tem de valer
Como
, precisamos de
, logo
. Entre
só cabe
.
Passo 3
Regra de 11: indexando os dígitos de
da direita para a esquerda, as posições ímpares são
,
,
,
e as pares são
,
,
. A diferença
deve ser múltiplo de 11, isto é
Como
, fica
As únicas possibilidades com
são
A equação
leva a
, mas não encaixa com a regra de 9 (ver próximo passo). A equação
daria
, impossível para dígito. A única viável é
Passo 4
Regra de 9: a soma de todos os dígitos de
deve ser múltipla de 9. Como
e já temos
, a soma é
Portanto
Juntando com
, temos
Como o inverso de 2 módulo 9 é 5, segue
. No intervalo de dígitos,
. Então