Exercício 4 Em um ensaio de carregamento de uma viga, foram medidos os deslocamentos verticais
(em mm ) em três pontos ao longo do comprimento
(em
):
0
2
4
0,0
8,0
0,0
(a) Determine o polinômio interpolante de Lagrange de grau 2.
(b) Estime o deslocamento no ponto
.
(c) Determine o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio interpolante.
|
|
0 | 2 | 4 |
|
|
0,0 | 8,0 | 0,0 |
(b) Estime o deslocamento no ponto
(c) Determine o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio interpolante.
Passo 1
O enunciado dá três medições do deslocamento vertical
(em
) em três pontos
(em
):
O que se pede:
(a) determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grau ;
(b) estimar o deslocamento em ;
(c) determinar o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio interpolante.
(a) determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grau
(b) estimar o deslocamento em
(c) determinar o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio interpolante.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula de interpolação de Lagrange (aula rápida e concreta). Dado um conjunto de três pontos
, o polinômio interpolante de grau
é
onde cada polinômio base
é
Explicando as variáveis:
é a coordenada onde queremos o valor interpolado;
são os nós conhecidos;
são os valores medidos em cada
. Cada
vale
em
e
em
para
, garantindo que
.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos nossos nós
, calculamos as bases
.
Calculemos
:
Calculemos
:
Calculemos
:
Passo 4
Agora montamos
usando os valores
:
Substituindo
:
Agora expandimos para ter a forma padrão:
Lembrete prático:
está em
se
está em
. Verificação rápida nos nós:
coincide com os dados dados — ótimo.
Passo 5
(b) Estimar o deslocamento em
. Substituímos
em
:
Portanto o deslocamento estimado é
.
Passo 6
(c) Determinar o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio. Observação:
é uma parábola com coeficiente quadrático
, portanto abre para baixo e tem um máximo no vértice. Há duas maneiras de achar o vértice; usamos derivada (muito usado em provas):
Derivando,
Igualando a zero para achar extremos:
Checamos a segunda derivada:
o que confirma que
é um máximo. O valor do deslocamento máximo é
Passo 7
Resumo final (pronto para decorar na hora da prova): o polinômio é
(mm), a estimativa em
é
, e o máximo ocorre em
com valor
. Força aí — você já resolveu a parte mais difícil!
Resposta
(a)
(b)
(c) máximo em , com
(b)
(c) máximo em