Exercício 4 Em um ensaio de carregamento de uma viga, foram medidos os deslocamentos verticais v (em mm ) em três pontos ao longo do comprimento x (em m ):
x(\mathrm{~m}) 0 2 4
v(\mathrm{~mm}) 0,0 8,0 0,0
(a) Determine o polinômio interpolante de Lagrange de grau 2.
(b) Estime o deslocamento no ponto x=1 m.
(c) Determine o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio interpolante.

Passo 1

O enunciado dá três medições do deslocamento vertical v (em \text{mm}) em três pontos x (em \text{m}):
(x,v)= (0,0),\quad (2,8),\quad (4,0).
O que se pede:
(a) determinar o polinômio interpolante de Lagrange de grau 2;
(b) estimar o deslocamento em x=1\\ \text{m};
(c) determinar o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio interpolante.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula de interpolação de Lagrange (aula rápida e concreta). Dado um conjunto de três pontos (x_0,v_0),(x_1,v_1),(x_2,v_2), o polinômio interpolante de grau \le 2 é
P(x)=v_{0}\,L_{0}(x)+v_{1}\,L_{1}(x)+v_{2}\,L_{2}(x),
onde cada polinômio base L_{i}(x) é
L_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.
Explicando as variáveis: x é a coordenada onde queremos o valor interpolado; x_i são os nós conhecidos; v_i são os valores medidos em cada x_i. Cada L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\neq i, garantindo que P(x_i)=v_i.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos nós (x_0,v_0)=(0,0), (x_1,v_1)=(2,8), (x_2,v_2)=(4,0), calculamos as bases L_0,L_1,L_2.
Calculemos L_0(x):
L_{0}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})} =\frac{(x-2)(x-4)}{(0-2)(0-4)} =\frac{(x-2)(x-4)}{8}.
Calculemos L_1(x):
L_{1}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})} =\frac{x(x-4)}{(2-0)(2-4)} =\frac{x(x-4)}{2\cdot(-2)} =-\frac{x(x-4)}{4}.
Calculemos L_2(x):
L_{2}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})} =\frac{x(x-2)}{(4-0)(4-2)} =\frac{x(x-2)}{8}.

Passo 4

Agora montamos P(x) usando os valores v_0=0,\\ v_1=8,\\ v_2=0:
P(x)=0\cdot L_{0}(x)+8\cdot L_{1}(x)+0\cdot L_{2}(x)=8\cdot L_{1}(x).
Substituindo L_{1}(x)=-\dfrac{x(x-4)}{4}:
P(x)=8\left(-\frac{x(x-4)}{4}\right)=-2\,x(x-4).
Agora expandimos para ter a forma padrão:
P(x)=-2\bigl(x^{2}-4x\bigr)=-2x^{2}+8x.
Lembrete prático: P(x) está em \text{mm} se x está em \text{m}. Verificação rápida nos nós:
P(0)=0,\quad P(2)=-2\cdot4+16=8,\quad P(4)=-2\cdot16+32=0,
coincide com os dados dados — ótimo.

Passo 5

(b) Estimar o deslocamento em x=1\\ \text{m}. Substituímos x=1 em P(x):
P(1)=-2(1)^{2}+8(1)=-2+8=6.
Portanto o deslocamento estimado é 6\\ \text{mm}.

Passo 6

(c) Determinar o ponto de deslocamento máximo segundo o polinômio. Observação: P(x)=-2x^{2}+8x é uma parábola com coeficiente quadrático a=-2<0, portanto abre para baixo e tem um máximo no vértice. Há duas maneiras de achar o vértice; usamos derivada (muito usado em provas):
Derivando,
P'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}+8x\bigr)=-4x+8.
Igualando a zero para achar extremos:
-4x+8=0\quad\Rightarrow\quad x=2.
Checamos a segunda derivada:
P''(x)=-4<0,
o que confirma que x=2 é um máximo. O valor do deslocamento máximo é
P(2)=-2(2)^{2}+8(2)=-8+16=8\\ \text{mm}.

Passo 7

Resumo final (pronto para decorar na hora da prova): o polinômio é P(x)=-2x^{2}+8x (mm), a estimativa em x=1 é 6\\ \text{mm}, e o máximo ocorre em x=2\\ \text{m} com valor 8\\ \text{mm}. Força aí — você já resolveu a parte mais difícil!

Resposta

(a) P(x)=-2x^{2}+8x\\ \text{(mm)}
(b) P(1)=6\\ \text{mm}
(c) máximo em x=2\\ \text{m}, com P(2)=8\\ \text{mm}

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