Exercício 6: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 6 x-y,-x-2 y-z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Justifique e descreva a base \alpha, onde [T]_{\alpha} é diagonal.
c. Determine uma matriz A tal que [T]_{c}^{c}=A[T]_{\alpha} A^{-1}, onde c é a base canônica.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a transformação linear \;T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+z,\;6x-y,\;-x-2y-z).
Conteúdo: encontrar autovalores e autovetores, verificar se T é diagonalizável e descrever a base em que a matriz é diagonal, e finalmente relacionar essa matriz diagonal com a matriz na base canônica.
Passo 2
Escrevemos a matriz de T na base canônica c. Para (x,y,z) temos
Encontramos um autovetor para cada autovalor resolvendo [(M-\lambda I)v=0):
Para \lambda=0:
M v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+2y+z=0,\\\\ 6x-y=0,\\\\ -\,x-2y-z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=6x,\;z=-13x.
Um vetor não nulo é
v_1=(1,6,-13).
Para (\lambda=3]: (M-3I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -2x+2y+z=0,\\\\ 6x-4y=0,\\\\ -\,x-2y-4z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=\tfrac32x,\;z=-x.
Um vetor não nulo é v_2=(2,3,-2).
Como há três autovalores distintos em \mathbb{R}, os três autovetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e uma base de autovetores é
b. Sim, T é diagonalizável porque tem três autovalores distintos. A base \alpha que diagonaliza é \{(1,6,-13),\,(2,3,-2),\,(1,-2,-1)\}.
c. Uma escolha de A é