Exercício 6: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 6 x-y,-x-2 y-z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Justifique e descreva a base \alpha, onde [T]_{\alpha} é diagonal.
c. Determine uma matriz A tal que [T]_{c}^{c}=A[T]_{\alpha} A^{-1}, onde c é a base canônica.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a transformação linear
\;T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+z,\;6x-y,\;-x-2y-z).
Conteúdo: encontrar autovalores e autovetores, verificar se T é diagonalizável e descrever a base em que a matriz é diagonal, e finalmente relacionar essa matriz diagonal com a matriz na base canônica.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica c. Para (x,y,z) temos
[T]_{c}^{c} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 6 & -1 & 0\\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} =:M.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de M:
\det(M-\lambda I) =-\lambda(\lambda^2+\lambda-12) =-\lambda(\lambda-3)(\lambda+4).
Logo os autovalores são
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=3,\quad \lambda_3=-4.

Passo 4

Encontramos um autovetor para cada autovalor resolvendo [(M-\lambda I)v=0):
Para \lambda=0:
M v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+2y+z=0,\\\\ 6x-y=0,\\\\ -\,x-2y-z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=6x,\;z=-13x.
Um vetor não nulo é
v_1=(1,6,-13).
Para (\lambda=3]:
(M-3I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -2x+2y+z=0,\\\\ 6x-4y=0,\\\\ -\,x-2y-4z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=\tfrac32x,\;z=-x.
Um vetor não nulo é
v_2=(2,3,-2).
Para \lambda=-4:
(M+4I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 5x+2y+z=0,\\\\ 6x+3y=0,\\\\ -\,x-2y+3z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=-2x,\;z=-x.
Um vetor não nulo é
v_3=(1,-2,-1).

Passo 5

Como há três autovalores distintos em \mathbb{R}, os três autovetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e uma base de autovetores é
\alpha=\{\,v_1,v_2,v_3\} =\{(1,6,-13),\,(2,3,-2),\,(1,-2,-1)\}.
Na base \alpha,
[T]_{\alpha} =\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 0&3&0\\\\ 0&0&-4 \end{pmatrix}.

Passo 6

A mudança de base de \alpha para a base canônica c é dada pela matriz cujas colunas são os vetores de \alpha. Logo podemos tomar
A=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 6 & 3 & -2\\\\ -13 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Verifica-se então que
[T]_{c}^{c} \;=\; A\,[T]_{\alpha}\,A^{-1}.

Resposta

a. Autovalores \lambda=0,3,-4 com autovetores
\lambda=0:\,(1,6,-13),\quad \lambda=3:\,(2,3,-2),\quad \lambda=-4:\,(1,-2,-1).
b. Sim, T é diagonalizável porque tem três autovalores distintos. A base \alpha que diagonaliza é
\{(1,6,-13),\,(2,3,-2),\,(1,-2,-1)\}.
c. Uma escolha de A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 6 & 3 & -2\\\\ -13 & -2 & -1 \end{pmatrix},
pois então [T]_{c}^{c}=A[T]_{\alpha}A^{-1}.

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