Exercício 4: Considere as transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x-2 z) e S(x, y)=(x+y, x-y, 2 x)
a. Determine S \circ T
b. Determine (T \circ S-2 I)^{-1}
Passo 1
O enunciado envolve duas transformações lineares T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y,z) = (\,2x+y-z,\;x-2z\,)
e S\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada por
S(u,v) = (\,u+v,\;u-v,\;2u\,).
Pede-se
a) a composição S\circ T, que vai de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3},
b) o inverso de T\circ S - 2I, que é um operador em \mathbb{R}^{2}.
Os conteúdos usados serão composição de transformações lineares, operações com matrizes e inversão de matriz 2\times2.
Passo 2
Para achar S\circ T, primeiro aplicamos T a (x,y,z), definindo