Exercício 4: Considere as transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x-2 z) e S(x, y)=(x+y, x-y, 2 x)
a. Determine S \circ T
b. Determine (T \circ S-2 I)^{-1}

Passo 1

O enunciado envolve duas transformações lineares
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y,z) = (\,2x+y-z,\;x-2z\,)
e
S\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} dada por
S(u,v) = (\,u+v,\;u-v,\;2u\,).
Pede-se
a) a composição S\circ T, que vai de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3},
b) o inverso de T\circ S - 2I, que é um operador em \mathbb{R}^{2}.
Os conteúdos usados serão composição de transformações lineares, operações com matrizes e inversão de matriz 2\times2.

Passo 2

Para achar S\circ T, primeiro aplicamos T a (x,y,z), definindo
(u,v) = T(x,y,z) = (2x+y-z,\;x-2z).
Em seguida aplicamos S a (u,v):
S(u,v) = \bigl(u+v,\;u-v,\;2u\bigr).
Substituindo u=2x+y-z e v=x-2z obtemos
S\circ T(x,y,z) = \bigl((2x+y-z)+(x-2z),\;(2x+y-z)-(x-2z),\;2(2x+y-z)\bigr).
Simplificando cada coordenada:
S\circ T(x,y,z) = \bigl(3x+y-3z,\;x+y+z,\;4x+2y-2z\bigr).

Passo 3

Agora determinamos T\circ S. Para (x,y)\in\mathbb{R}^2, temos
S(x,y) = (x+y,\;x-y,\;2x).
Aplicando T a este triplo:
T\bigl(x+y,\;x-y,\;2x\bigr) = \bigl(2(x+y)+(x-y)-2x,\;(x+y)-2\cdot(2x)\bigr).
Isso dá
T\circ S(x,y) = \bigl(x+y,\;-3x+y\bigr).

Passo 4

Definimos o operador A = T\circ S - 2I em \mathbb{R}^2. Então
A(x,y) = \bigl(x+y,\;-3x+y\bigr) - 2\,(x,y) = \bigl((x+y)-2x,\;(-3x+y)-2y\bigr).
Logo
A(x,y) = (-x+y,\;-3x-y).
A matriz de A na base canônica é
M = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ -3 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para inverter A, calculamos \det M e a adjunta:
\det M = (-1)(-1) - (1)(-3) = 1+3 = 4,
M^{-1} = \frac{1}{\det M} \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ 3 & -1 \end{pmatrix}.
Assim, para (u,v)\in\mathbb{R}^2,
A^{-1}(u,v) = M^{-1}\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \Bigl(-\tfrac{u+v}{4},\;\tfrac{3u - v}{4}\Bigr).

Resposta

a. S\circ T(x,y,z) = \bigl(3x+y-3z,\;x+y+z,\;4x+2y-2z\bigr).
b. (T\circ S - 2I)^{-1}(u,v) = \bigl(-\tfrac{u+v}{4},\;\tfrac{3u - v}{4}\bigr).

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