Exercício 9: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+2 y+z,-y+6 z,-z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x+2y+z,\;-y+6z,\;-z\,).
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma matriz, seguido de critério de diagonalizabilidade. Para resolver, vamos representar T em base canônica, achar o polinômio característico, resolver para \lambda, depois achar espaços próprios e comparar dimensões.
Passo 2
Em base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, o operador T tem matriz triangular superior
também de dimensão 1, embora a multiplicidade algébrica de -1 seja 2.
Passo 6
Para ser diagonalizável, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 3. Aqui temos \dim E_1=1 e \dim E_{-1}=1, totalizando 2 vetores próprios independentes em \mathbb{R}^3. Falta um terceiro vetor próprio, pois a multiplicidade algébrica de -1 é 2 mas sua multiplicidade geométrica é apenas 1.
Resposta
a. Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1 (este com multiplicidade algébrica 2).
Para \lambda=1, E_1=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}.
Para \lambda=-1, E_{-1}=\operatorname{span}\{(-1,1,0)\}.
b. T não é diagonalizável, pois há apenas 2 vetores próprios independentes em vez de 3.