Exercício 9: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+2 y+z,-y+6 z,-z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x+2y+z,\;-y+6z,\;-z\,).
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma matriz, seguido de critério de diagonalizabilidade. Para resolver, vamos representar T em base canônica, achar o polinômio característico, resolver para \lambda, depois achar espaços próprios e comparar dimensões.

Passo 2

Em base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, o operador T tem matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 6\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Como é triangular, seus autovalores são justamente os elementos da diagonal.

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,(-1-\lambda)\,(-1-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -1\text{ (com multiplicidade algébrica 2).}é

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A - I)v=0.
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\\\ 0 & -2 & 6\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
As equações dão
2y+z = 0,\quad -2y+6z = 0,\quad -2z=0.
Da terceira vem z=0, então y=0 e x fica livre. Portanto
E_1 = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,0,0)\},
de dimensão 1.

Passo 5

Para \lambda=-1 resolvemos (A + I)v=0.
A + I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 6\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As equações são
2x+2y+z = 0,\quad 6z=0.
Da segunda vem z=0, e da primeira x+y=0. Logo
E_{-1} = \{(-y,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(-1,1,0)\},
também de dimensão 1, embora a multiplicidade algébrica de -1 seja 2.

Passo 6

Para ser diagonalizável, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 3. Aqui temos
\dim E_1=1 e \dim E_{-1}=1, totalizando 2 vetores próprios independentes em \mathbb{R}^3. Falta um terceiro vetor próprio, pois a multiplicidade algébrica de -1 é 2 mas sua multiplicidade geométrica é apenas 1.

Resposta

a. Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1 (este com multiplicidade algébrica 2).
  • Para \lambda=1, E_1=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}.
  • Para \lambda=-1, E_{-1}=\operatorname{span}\{(-1,1,0)\}.
    b. T não é diagonalizável, pois há apenas 2 vetores próprios independentes em vez de 3.

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