Exercício 7: Existe transformação linear
tal que
a.
e
b.
e
bijetora.
c.
e
a.
b.
c.
Passo 1
O enunciado pergunta, em cada caso, se existe transformação linear
satisfazendo certas condições de imagem em vetores dados. O conteúdo usado é que uma transformação linear fica totalmente determinada pelos seus valores em uma base de
, e que qualquer atribuição deve preservar relações lineares entre os vetores do domínio.
Passo 2
Critério geral de existência:
Sejam e queremos
. Se houver relação
Sejam
então necessariamente
para que
seja linear. Além disso, para que
seja definida unicamente e exista, precisamos que a família
se estenda a uma base de
. Se ela já for base (isto é,
e são linearmente independentes), então qualquer escolha de
define exatamente um
.
Passo 3
Caso (a):
Os vetores do domínio são
Os vetores do domínio são
Eles satisfazem a relação
logo devem ocorrer também em suas imagens:
Mas
Há contradição, portanto não existe tal
.
Passo 4
Caso (b):
Só são dados
Só são dados
com
e exige-se que
seja bijetora. Primeiro,
e
são linearmente independentes. Para obter uma base de
completamos
com algum
que não esteja em seu span (por exemplo
ou
). Analogamente, como
e
são independentes em
, podemos escolher
de modo que
seja base. Definindo
assim, ela existe, é linear e leva uma base em base, logo é bijetora. Assim, existe tal
.
Passo 5
Caso (c):
Os vetores do domínio são
Os vetores do domínio são
Verifica-se que são linearmente independentes (a única solução de
é
). Logo
já é base de
. Dado qualquer triplo de imagens
, existe e é único o
linear com
. Portanto, existe transformação linear satisfazendo
Resposta
a) Não existe.
b) Existe.
c) Existe.
b) Existe.
c) Existe.