Exercício 7: Existe transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
a. T(1,1,1)=(1,2,1), T(1,1,0)=(0,1,1) e T(0,0,1)=(1,1,1)
b. T(1,1,1)=(1,2,1), T(1,1,0)=(0,1,1) e T bijetora.
c. T(1,1,1)=(1,2,1), T(1,1,0)=(0,1,1) e T(1,0,0)=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pergunta, em cada caso, se existe transformação linear
T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3
satisfazendo certas condições de imagem em vetores dados. O conteúdo usado é que uma transformação linear fica totalmente determinada pelos seus valores em uma base de \mathbb R^3, e que qualquer atribuição deve preservar relações lineares entre os vetores do domínio.

Passo 2

Critério geral de existência:
Sejam v_1,\dots,v_k\in\mathbb R^3 e queremos T(v_i)=w_i. Se houver relação
\sum_{i=1}^k c_i\,v_i=0,
então necessariamente
\sum_{i=1}^k c_i\,w_i=0
para que T seja linear. Além disso, para que T seja definida unicamente e exista, precisamos que a família \{v_1,\dots,v_k\} se estenda a uma base de \mathbb R^3. Se ela já for base (isto é, k=3 e são linearmente independentes), então qualquer escolha de w_i define exatamente um T.

Passo 3

Caso (a):
Os vetores do domínio são
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),\quad v_3=(0,0,1).
Eles satisfazem a relação
v_1 - v_2 - v_3 = (1,1,1)-(1,1,0)-(0,0,1)=(0,0,0),
logo devem ocorrer também em suas imagens:
T(v_1)-T(v_2)-T(v_3)\stackrel{?}{=}0.
Mas
T(v_1)-T(v_2)-T(v_3)=(1,2,1)-(0,1,1)-(1,1,1)=(0,0,-1)\neq(0,0,0).
Há contradição, portanto não existe tal T.

Passo 4

Caso (b):
Só são dados
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),
com
T(v_1)=(1,2,1),\quad T(v_2)=(0,1,1),
e exige-se que T seja bijetora. Primeiro, v_1 e v_2 são linearmente independentes. Para obter uma base de \mathbb R^3 completamos \{v_1,v_2\} com algum v_3 que não esteja em seu span (por exemplo (0,1,0) ou (0,0,1)). Analogamente, como T(v_1) e T(v_2) são independentes em \mathbb R^3, podemos escolher T(v_3) de modo que \{T(v_1),T(v_2),T(v_3)\} seja base. Definindo T assim, ela existe, é linear e leva uma base em base, logo é bijetora. Assim, existe tal T.

Passo 5

Caso (c):
Os vetores do domínio são
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),\quad v_3=(1,0,0).
Verifica-se que são linearmente independentes (a única solução de c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=0 é c_1=c_2=c_3=0). Logo \{v_1,v_2,v_3\} já é base de \mathbb R^3. Dado qualquer triplo de imagens w_1,w_2,w_3, existe e é único o T linear com T(v_i)=w_i. Portanto, existe transformação linear satisfazendo
T(1,1,1)=(1,2,1),\quad T(1,1,0)=(0,1,1),\quad T(1,0,0)=(1,1,1).

Resposta

a) Não existe.
b) Existe.
c) Existe.

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