Exercício 2: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+z, x+y). Determine uma base para o núcleo de T. T é injetora? E bijetora?
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y,z)=(x+y+z,\;2x+2y+z,\;x+y)
e pede (i) uma base para \ker(T), (ii) se T é injetora e (iii) se T é bijetora.
Conteúdo: núcleo de uma transformação linear, teorema do posto-nulidade, injetividade e bijetividade.
Passo 2
Para achar \ker(T) escrevemos o sistema homogêneo T(x,y,z)=(0,0,0). Isso dá as equações
Como \dim(\ker T)=1>0, T não é injetora. Além disso, \mathrm{rank}(T)=2<3 implica que a imagem não é todo \mathbb{R}^{3}, logo T não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.
Resposta
Base do núcleo: \{(1,-1,0)\}. T não é injetora. T não é bijetora.