Exercício 2: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+z, x+y). Determine uma base para o núcleo de T. T é injetora? E bijetora?

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y,z)=(x+y+z,\;2x+2y+z,\;x+y)
e pede (i) uma base para \ker(T), (ii) se T é injetora e (iii) se T é bijetora.
Conteúdo: núcleo de uma transformação linear, teorema do posto-nulidade, injetividade e bijetividade.

Passo 2

Para achar \ker(T) escrevemos o sistema homogêneo T(x,y,z)=(0,0,0). Isso dá as equações
\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x+2y+z=0,\\\ x+y=0. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação obtemos
x+y=0\implies y=-x.
Substituindo em x+y+z=0 vem
x+(-x)+z=z=0\implies z=0.
A segunda equação fica 2x+2(-x)+0=0, que é satisfeita automaticamente.

Passo 4

Logo
(x,y,z)=(x,-x,0)=x\,(1,-1,0),
portanto
\ker(T)=\{\,x(1,-1,0)\mid x\in\mathbb{R}\}
e uma base é \{(1,-1,0)\}. O teorema do posto-nulidade dá
\dim(\ker T)=1\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{rank}(T)=3-1=2.

Passo 5

Como \dim(\ker T)=1>0, T não é injetora. Além disso, \mathrm{rank}(T)=2<3 implica que a imagem não é todo \mathbb{R}^{3}, logo T não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora.

Resposta

Base do núcleo: \{(1,-1,0)\}.
T não é injetora.
T não é bijetora.

Exercícios relacionados