Exercício 3: Seja a matriz da tranformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} na base \alpha= (1,1,1),(1,1,0),(0,1,1) dada por:
[T]_{\alpha}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right)
a. Determine T(x, y, z).
b. Determine a matriz de T em relação à base canônica.
c. Determine a matriz de T em relação à base \beta=\{(1,2,1),(1,1,1),(1,1,0)\}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz em relação à base
\alpha=\{(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)\} é
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ -1& 1 & 1 \end{pmatrix}.
Ele pede:
a) a fórmula explícita T(x,y,z) em coordenadas canônicas;
b) a matriz de T na base canônica;
c) a matriz de T na base \beta=\{(1,2,1),(1,1,1),(1,1,0)\}.

Passo 2

Para trocar de base usamos a matriz P_{\alpha} cujas colunas são os vetores de \alpha, e calculamos P_{\alpha}^{-1}.
P_{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det P_{\alpha}=1, \quad P_{\alpha}^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ -1& 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz de T na base canônica é
M = P_{\alpha}\,[T]_{\alpha}^{\alpha}\,P_{\alpha}^{-1}.
Calculando primeiro P_{\alpha}[T]_{\alpha}^{\alpha} e depois multiplicando por P_{\alpha}^{-1}, chega-se a
M =\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\\\ 1 & 3 & -3\\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

A partir de M, para qualquer (x,y,z) em coordenada canônica temos
T(x,y,z) = M\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3x - z\\\ x + 3y - 3z\\\\ 2y - 2z \end{pmatrix}.

Passo 5

Para a base \beta montamos
P_{\beta} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad P_{\beta}^{-1} =\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1& 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e então
[T]_{\beta}^{\beta} = P_{\beta}^{-1}\,M\,P_{\beta} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

a) \displaystyle T(x,y,z)=(3x - z,\;x + 3y - 3z,\;2y - 2z).
b) \displaystyle [T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}3&0&-1\\\ 1&3&-3\\\ 0&2&-2\end{pmatrix}.
c) \displaystyle [T]_{\beta}^{\beta}=\begin{pmatrix}2&-1&1\\\ 0&1&1\\\ 0&2&1\end{pmatrix}.

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