Exercício 5.4. Considere uma variável aleatória X com R x=1,2, ldots.
Admita que P(X=j)=(1-a) cdot a^-1 para todo j >= 1. Para que valores de a função acima define uma legítima distribuição de probabilidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $. A probabilidade de $ X $ ser igual a qualquer um desses valores é dada por $ P(X=j) = (1 - a) \cdot a^{j-1} $ para todo $ j \geq 1 $. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de $ a $ essa função realmente representa uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de probabilidade legítima. Para que uma função $ P(X=j) $ seja uma distribuição de probabilidade, ela precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Todas as probabilidades são não negativas: $ P(X=j) \geq 0 $ para todo $ j $.
  2. A soma de todas as probabilidades é igual a 1: $ \sum_{j=1}^{\infty} P(X=j) = 1 $.
Vamos verificar essas condições para a nossa função.

Passo 3

Condição 1: Probabilidades não negativas
A expressão $ P(X=j) = (1 - a) \cdot a^{j-1} $ deve ser maior ou igual a zero para todo $ j \geq 1 $.
  • O termo $ a^{j-1} $ é sempre não negativo se $ a \geq 0 $.
  • O fator $ (1 - a) $ também precisa ser não negativo, então $ 1 - a \geq 0 $, o que implica $ a \leq 1 $.
Portanto, para a primeira condição ser satisfeita, devemos ter $ 0 \leq a \leq 1 $.

Passo 4

Condição 2: Soma das probabilidades igual a 1
Vamos somar todas as probabilidades de $ j = 1 $ até o infinito:
j = 1
Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ (1 - a) \cdot a^{j-1} $. Sabemos que a soma de uma série geométrica $ \sum_{j=0}^{\infty} r^j $ é igual a $ \frac{1}{1 - r} $, desde que $ |r| < 1 $.
No nosso caso, $ r = a $ e a série começa em $ j = 1 $, então podemos ajustar a fórmula:
sumj=1^infty P(X=j) = sumj=1^infty (1 - a) cdot a^j-1
Para que essa igualdade seja válida, precisamos que $ |a| < 1 $.

Passo 5

Conclusão das condições
Vamos resumir as condições que encontramos:
  1. $ 0 \leq a \leq 1 $ para garantir que as probabilidades sejam não negativas.
  2. $ |a| < 1 $ para que a soma das probabilidades seja igual a 1.
A segunda condição $ |a| < 1 $ é mais restritiva que a primeira, pois já implica que $ a $ está entre -1 e 1. Porém, como estamos lidando com probabilidades, $ a $ deve ser não negativo. Portanto, combinando as duas condições, concluímos que $ a $ deve estar no intervalo:
0 <= a <= 1

Resposta

A função define uma distribuição de probabilidade legítima para todos os valores de $ a $ no intervalo $ 0 \leq a < 1 $.

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