Dois dados honestos são lançados e as faces anotadas. Considere os eventos.
  • D := a soma das faces é 6.
  • E:= a soma das faces é 7.
  • F:= a primeira face é 4.
  • G:= a segunda face é 3.
    Os eventos D e F são independentes?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade envolvendo dois dados lançados. Os eventos são:
  • D: a soma das faces é 6.
  • F: a primeira face é 4.
Queremos descobrir se os eventos D e F são independentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade, como eventos independentes e a probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matematicamente, isso é expresso como:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Se essa igualdade for verdadeira, os eventos são independentes.

Passo 3

Vamos calcular P(D), a probabilidade de a soma das faces ser 6. Ao lançar dois dados, há 6 times 6 = 36 resultados possíveis. Os pares que somam 6 são: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). São 5 resultados.
Então,
P(D) = 536

Passo 4

Agora, vamos calcular P(F), a probabilidade de a primeira face ser 4. Como cada face do dado tem igual probabilidade, e há 6 possíveis resultados para a primeira face, temos:
P(F) = 16

Passo 5

Em seguida, vamos calcular P(D cap F), a probabilidade de a soma ser 6 e a primeira face ser 4. Se a primeira face é 4, o segundo dado deve ser 2 para que a soma seja 6. Então, há apenas um resultado que satisfaz ambos os eventos: (4,2).
Portanto,
P(D cap F) = 136

Passo 6

Agora, vamos verificar se P(D cap F) = P(D) times P(F). Substituindo os valores:
P(D) times P(F) = 536 times 16 = 5216
Comparando com P(D cap F) = 136, vemos que:
136 neq 5216

Resposta

Os eventos D e F não são independentes, pois P(D cap F) neq P(D) times P(F).

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