Dois dados honestos são lançados e as faces anotadas. Considere os eventos.
  • D := a soma das faces é 6.
  • E:= a soma das faces é 7.
  • F:= a primeira face é 4.
  • G:= a segunda face é 3.
    Os eventos E e F são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois dados justos lançados e observa as faces que saem. Os eventos que estamos analisando são:
  • E: a soma das faces é 7.
  • F: a primeira face é 4.
Queremos descobrir se os eventos E e F são independentes. Isso envolve entender um pouquinho de probabilidade e como os eventos podem ou não influenciar um ao outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada um ocorrer individualmente. Ou seja:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Então, para saber se E e F são independentes, precisamos calcular:
  1. P(E): a probabilidade da soma das faces ser 7.
  2. P(F): a probabilidade da primeira face ser 4.
  3. P(E ∩ F): a probabilidade de a soma ser 7 e a primeira face ser 4 ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos calcular P(E), a probabilidade de a soma ser 7. Quando lançamos dois dados, existem 6 × 6 = 36 combinações possíveis das faces. As combinações que dão soma 7 são:
  • (1,6)
  • (2,5)
  • (3,4)
  • (4,3)
  • (5,2)
  • (6,1)
São 6 combinações que satisfazem a condição, então:
P(E) = 636 = 16

Passo 4

Agora, vamos calcular P(F), a probabilidade de a primeira face ser 4. Como o dado é justo, cada face tem a mesma chance de aparecer. Há 6 faces, então:
P(F) = 16

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar P(E ∩ F), a probabilidade de a soma ser 7 e a primeira face ser 4. Isso significa que a primeira face é 4 e, juntamente com a segunda face, a soma dá 7. Se a primeira face é 4, para a soma ser 7, a segunda face deve ser 3. Então, a única combinação que satisfaz isso é (4,3).
Assim, há apenas 1 combinação que atende a ambos os eventos:
P(E cap F) = 136

Passo 6

Agora, vamos verificar se P(E ∩ F) é igual a P(E) × P(F):
P(E) times P(F) = 16 times 16 = 136
E vimos que:
P(E cap F) = 136
Como ambas as probabilidades são iguais, isso confirma que os eventos E e F são independentes.

Resposta

Sim, os eventos E e F são independentes.

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