Dois dados honestos são lançados e as faces anotadas. Considere os eventos.
-
:= a soma das faces é 6.
-
:= a soma das faces é 7.
-
:= a primeira face é 4.
-
:= a segunda face é 3.
Os eventos E e F são independentes?
Os eventos E e F são independentes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois dados justos lançados e observa as faces que saem. Os eventos que estamos analisando são:
- E: a soma das faces é 7.
- F: a primeira face é 4.
Queremos descobrir se os eventos E e F são independentes. Isso envolve entender um pouquinho de probabilidade e como os eventos podem ou não influenciar um ao outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada um ocorrer individualmente. Ou seja:
Então, para saber se E e F são independentes, precisamos calcular:
- P(E): a probabilidade da soma das faces ser 7.
- P(F): a probabilidade da primeira face ser 4.
- P(E ∩ F): a probabilidade de a soma ser 7 e a primeira face ser 4 ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos calcular P(E), a probabilidade de a soma ser 7. Quando lançamos dois dados, existem 6 × 6 = 36 combinações possíveis das faces. As combinações que dão soma 7 são:
- (1,6)
- (2,5)
- (3,4)
- (4,3)
- (5,2)
- (6,1)
São 6 combinações que satisfazem a condição, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular P(F), a probabilidade de a primeira face ser 4. Como o dado é justo, cada face tem a mesma chance de aparecer. Há 6 faces, então:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar P(E ∩ F), a probabilidade de a soma ser 7 e a primeira face ser 4. Isso significa que a primeira face é 4 e, juntamente com a segunda face, a soma dá 7. Se a primeira face é 4, para a soma ser 7, a segunda face deve ser 3. Então, a única combinação que satisfaz isso é (4,3).
Assim, há apenas 1 combinação que atende a ambos os eventos:
Passo 6
Agora, vamos verificar se P(E ∩ F) é igual a P(E) × P(F):
E vimos que:
Como ambas as probabilidades são iguais, isso confirma que os eventos E e F são independentes.
Resposta
Sim, os eventos E e F são independentes.