Exercício 1 Suponha que X tenha distribuição uniforme sobre o conjunto \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. Determine a função de probabilidades de Y=X^{2}-X.

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição uniforme sobre o conjunto \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. Ou seja:
  • Os valores possíveis de X são \\ -3,-2,-1,0,1,2,3 (peguei estes valores do enunciado).
  • Como a distribuição é uniforme, cada valor de X tem probabilidade \dfrac{1}{7}.
O que o problema pede: determinar a função de probabilidades de Y=X^{2}-X, isto é, encontrar todos os valores possíveis de Y e calcular p_{Y}(y)=\mathbb{P}(Y=y) para cada um desses valores.

Passo 2

Regra geral que vamos usar (fórmula): se Y=g(X) e X é discreto, então a função de probabilidade de Y é
p_{Y}(y)=\mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x:\;g(x)=y}\mathbb{P}(X=x).
Explicando: soma-se a probabilidade de todos os valores x de X que geram o mesmo y. Aqui g(x)=x^{2}-x. Cada \mathbb{P}(X=x) vale \dfrac{1}{7} por uniformidade.

Passo 3

Vamos calcular Y=x^{2}-x para cada valor de x dado (faço conta passo a passo):
  • Para x=-3: \;Y=(-3)^{2}-(-3)=9+3=12.
  • Para x=-2: \;Y=(-2)^{2}-(-2)=4+2=6.
  • Para x=-1: \;Y=(-1)^{2}-(-1)=1+1=2.
  • Para x=0: \;Y=0^{2}-0=0.
  • Para x=1: \;Y=1^{2}-1=1-1=0.
  • Para x=2: \;Y=2^{2}-2=4-2=2.
  • Para x=3: \;Y=3^{2}-3=9-3=6.
Portanto as pares (x,Y) (extraídas do enunciado e das contas) são:
\;(-3,12),\;(-2,6),\;(-1,2),\;(0,0),\;(1,0),\;(2,2),\;(3,6).

Passo 4

Agrupando pelos valores iguais de Y, vemos quais x dão cada y:
  • Y=0 ocorre para x=0 e x=1. (dois pré-imagens)
  • Y=2 ocorre para x=-1 e x=2. (dois pré-imagens)
  • Y=6 ocorre para x=-2 e x=3. (dois pré-imagens)
  • Y=12 ocorre para x=-3. (uma pré-imagem)

Passo 5

Como cada x tem probabilidade \dfrac{1}{7}, a probabilidade de cada valor y é o número de pré-imagens dividido por 7:
  • \mathbb{P}(Y=0)=\dfrac{2}{7}.
  • \mathbb{P}(Y=2)=\dfrac{2}{7}.
  • \mathbb{P}(Y=6)=\dfrac{2}{7}.
  • \mathbb{P}(Y=12)=\dfrac{1}{7}.

Passo 6

Checagem rápida: \dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{7}{7}=1. As probabilidades somam 1, portanto está consistente.

Resposta

p_{Y}(0)=\dfrac{2}{7}
p_{Y}(2)=\dfrac{2}{7}
p_{Y}(6)=\dfrac{2}{7}
p_{Y}(12)=\dfrac{1}{7}

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