Exercício 1 Suponha que
tenha distribuição uniforme sobre o conjunto
. Determine a função de probabilidades de
.
Passo 1
O enunciado dá que
tem distribuição uniforme sobre o conjunto
. Ou seja:
- Os valores possíveis de
são (peguei estes valores do enunciado). - Como a distribuição é uniforme, cada valor de
tem probabilidade .
O que o problema pede: determinar a função de probabilidades de
, isto é, encontrar todos os valores possíveis de
e calcular
para cada um desses valores.
Passo 2
Regra geral que vamos usar (fórmula): se
e
é discreto, então a função de probabilidade de
é
Explicando: soma-se a probabilidade de todos os valores
de
que geram o mesmo
. Aqui
. Cada
vale
por uniformidade.
Passo 3
Vamos calcular
para cada valor de
dado (faço conta passo a passo):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto as pares
(extraídas do enunciado e das contas) são:
Passo 4
Agrupando pelos valores iguais de
, vemos quais
dão cada
:
-
ocorre para e . (dois pré-imagens) -
ocorre para e . (dois pré-imagens) -
ocorre para e . (dois pré-imagens) -
ocorre para . (uma pré-imagem)
Passo 5
Como cada
tem probabilidade
, a probabilidade de cada valor
é o número de pré-imagens dividido por
:
Passo 6
Checagem rápida:
. As probabilidades somam
, portanto está consistente.