Exercício 1. Consideremos a função
e o vetor
.
a) (
pontos) Encontre a derivada direcional de
na direção de
no ponto
.
b) ( 2 pontos) Encontre o vetor unitário que indica a direção e o sentido onde a função
tem a maior taxa de variação no ponto
.
a) (
b) ( 2 pontos) Encontre o vetor unitário que indica a direção e o sentido onde a função
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função é
. - O vetor de direção é
. - O ponto onde vamos avaliar é
.
As perguntas são:
a) Encontrar a derivada direcional de na direção de
no ponto
.
b) Encontrar o vetor unitário que indica a direção e o sentido em que tem a maior taxa de variação no ponto
.
a) Encontrar a derivada direcional de
b) Encontrar o vetor unitário que indica a direção e o sentido em que
Passo 2
Entendendo o que é a derivada direcional e a ferramenta que vamos usar (explicação didática).
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação instantânea de quando nos movemos a partir de na direção . - Uma fórmula prática e muito usada é:
Aqui
é o gradiente de
em
(um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em
), e
é o produto interno (produto escalar) entre vetores. Vou explicar melhor cada peça quando for usá-las:
- O gradiente
. Cada derivada parcial significa: derivar em relação a mantendo e fixos. - Para usar a fórmula acima é obrigatório trabalhar com um vetor de direção unitário
. Se o vetor dado não for unitário, normaliza-se dividindo pelo seu comprimento.
Passo 3
Calcular o gradiente
passo a passo.
Primeiro rewrite útil: escrevemos
Primeiro rewrite útil: escrevemos
Agora cada parcial:
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constantes, a derivada de é , então
- Derivada parcial em relação a
: é constante em relação a , e derivada de é , então
- Derivada parcial em relação a
: usar que depende de e é tratado como constante; a derivada de é . Portanto
Assim o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo ,
,
nas componentes:
Substituindo
Logo
Passo 5
Normalizar o vetor de direção dado
para obter o vetor unitário
.
- Primeiro o comprimento (norma) de
é
- O vetor unitário correspondente é
Explicação breve: dividir pelo comprimento faz com que o novo vetor tenha comprimento
, condição necessária para usar a fórmula da derivada direcional.
Passo 6
Calcular a derivada direcional de
em
na direção de
(ou seja, na direção do vetor unitário
).
Usamos
Usamos
Fazendo o produto escalar:
Interpretação: ao mover-se a partir de
na direção
não há variação de primeira ordem de
; a taxa instantânea de variação nessa direção é zero.
Passo 7
Encontrar o vetor unitário que indica a direção e o sentido de maior taxa de variação em
(explicação didática).
- Teorema (explicado de forma simples): a derivada direcional máxima possível em
(entre todas as direções unitárias) tem valor igual a e ocorre exatamente quando a direção unitária é a do próprio gradiente . Isto vem da desigualdade de Cauchy–Schwarz: para qualquer vetor unitário ,
A igualdade ocorre quando
é paralelo a
.
- Portanto a direção de máximo crescimento é a direção de
. Já temos . Para obter o vetor unitário nessa direção normalizamos: - Norma do gradiente:
- Vetor unitário na direção de máximo aumento:
Esse
aponta no sentido em que
cresce mais rápido, e a taxa máxima de crescimento é
.
Passo 8
Resumo final curto antes da resposta final: calculamos
, a derivada direcional na direção de
deu
, e o vetor unitário de maior aumento é
.