Exercício 1. Consideremos a função
f(x, y, z)=\frac{x^{2}+y}{z^{3}}
e o vetor u=(1,1,1).
a) ( \mathbf{3} pontos) Encontre a derivada direcional de f na direção de u no ponto P=(1,0,1).
b) ( 2 pontos) Encontre o vetor unitário que indica a direção e o sentido onde a função f tem a maior taxa de variação no ponto P.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{x^{2}+y}{z^{3}}.
  • O vetor de direção é u=(1,1,1).
  • O ponto onde vamos avaliar é P=(1,0,1).
As perguntas são:
a) Encontrar a derivada direcional de f na direção de u no ponto P.
b) Encontrar o vetor unitário que indica a direção e o sentido em que f tem a maior taxa de variação no ponto P.

Passo 2

Entendendo o que é a derivada direcional e a ferramenta que vamos usar (explicação didática).
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário v mede a taxa de variação instantânea de f quando nos movemos a partir de P na direção v.
  • Uma fórmula prática e muito usada é:
\text{derivada direcional de }f\text{ em }P\text{ na direção }v = \nabla f(P)\cdot v.çã
Aqui \nabla f(P) é o gradiente de f em P (um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em P), e \cdot é o produto interno (produto escalar) entre vetores. Vou explicar melhor cada peça quando for usá-las:
  • O gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z). Cada derivada parcial \partial f/\partial x significa: derivar f em relação a x mantendo y e z fixos.
  • Para usar a fórmula acima é obrigatório trabalhar com um vetor de direção unitário v. Se o vetor dado não for unitário, normaliza-se dividindo pelo seu comprimento.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla f(x,y,z) passo a passo.
Primeiro rewrite útil: escrevemos
f(x,y,z)=(x^{2}+y)\,z^{-3}.
Agora cada parcial:
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y,z como constantes, a derivada de x^{2} é 2x, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{z^{3}}.
  • Derivada parcial em relação a y: x^{2} é constante em relação a y, e derivada de y é 1, então
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{z^{3}}.
  • Derivada parcial em relação a z: usar que z^{-3} depende de z e x^{2}+y é tratado como constante; a derivada de z^{-3} é -3 z^{-4}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=(x^{2}+y)\cdot(-3)z^{-4}=-\frac{3(x^{2}+y)}{z^{4}}.
Assim o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{2x}{z^{3}},\;\frac{1}{z^{3}},\; -\frac{3(x^{2}+y)}{z^{4}}\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,0,1).
Substituindo x=1, y=0, z=1 nas componentes:
\frac{2x}{z^{3}}=\frac{2\cdot 1}{1^{3}}=2, \qquad \frac{1}{z^{3}}=\frac{1}{1^{3}}=1,
-\frac{3(x^{2}+y)}{z^{4}}=-\frac{3(1^{2}+0)}{1^{4}}=-3.
Logo
\nabla f(P)=(2,\,1,\,-3).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção dado u=(1,1,1) para obter o vetor unitário v.
  • Primeiro o comprimento (norma) de u é
\|u\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
  • O vetor unitário correspondente é
v=\frac{u}{\|u\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Explicação breve: dividir pelo comprimento faz com que o novo vetor tenha comprimento 1, condição necessária para usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 6

Calcular a derivada direcional de f em P na direção de u (ou seja, na direção do vetor unitário v).
Usamos
D_{v}f(P)=\nabla f(P)\cdot v.
Fazendo o produto escalar:
\nabla f(P)\cdot v=(2,1,-3)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) =\frac{1}{\sqrt{3}}\big(2\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-3)\cdot 1\big) =\frac{1}{\sqrt{3}}(2+1-3)=\frac{0}{\sqrt{3}}=0.
Interpretação: ao mover-se a partir de P na direção (1,1,1) não há variação de primeira ordem de f; a taxa instantânea de variação nessa direção é zero.

Passo 7

Encontrar o vetor unitário que indica a direção e o sentido de maior taxa de variação em P (explicação didática).
  • Teorema (explicado de forma simples): a derivada direcional máxima possível em P (entre todas as direções unitárias) tem valor igual a \|\nabla f(P)\| e ocorre exatamente quando a direção unitária é a do próprio gradiente \nabla f(P). Isto vem da desigualdade de Cauchy–Schwarz: para qualquer vetor unitário w,
\nabla f(P)\cdot w \le \|\nabla f(P)\|\,\|w\|=\|\nabla f(P)\|.
A igualdade ocorre quando w é paralelo a \nabla f(P).
  • Portanto a direção de máximo crescimento é a direção de \nabla f(P). Já temos \nabla f(P)=(2,1,-3). Para obter o vetor unitário nessa direção normalizamos:
    • Norma do gradiente:
    \|\nabla f(P)\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
    • Vetor unitário na direção de máximo aumento:
    w=\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2,\,1,\,-3).
Esse w aponta no sentido em que f cresce mais rápido, e a taxa máxima de crescimento é \|\nabla f(P)\|=\sqrt{14}.

Passo 8

Resumo final curto antes da resposta final: calculamos \nabla f(P)=(2,1,-3), a derivada direcional na direção de u=(1,1,1) deu 0, e o vetor unitário de maior aumento é \dfrac{1}{\sqrt{14}}(2,1,-3).

Resposta

0
\dfrac{1}{\sqrt{14}}(2,\,1,\,-3)

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