Resolva as seguintes integrais duplas iteradas:
\int_{0}^{2} \int_{1}^{3}(2 x+3 y) d y d x
\int_{0}^{2} \int_{1}^{3}(2 x+3 y) d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A integração é sobre o retângulo
, com integrado primeiro de a e depois de a . - Objetivo: obter o valor numérico da integral iterada acima.
Passo 2
Por que podemos integrar assim (breve explicação teórica e regras usadas):
- A função
é contínua em todo . Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla sobre um retângulo pode ser feita como uma integral iterada; isto é, podemos calcular primeiro a integral em e depois em . - Usarei também duas propriedades básicas de integrais:
- Linearidade:
. - Ao integrar em relação a
, é tratado como constante (e vice-versa).
- Linearidade:
- Fórmulas que vou usar:
- Regra do coeficiente constante:
se não depende de . - Regra do poder:
.
Essas fórmulas servem para integrar polinômios de forma direta.
- Regra do coeficiente constante:
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Trato
como constante em relação a
. Aplicando linearidade e as regras acima:
Passo 4
Calcular cada parcela separadamente:
- Para a primeira parcela,
- Para a segunda parcela,
Calcule o interior:
. Então
Passo 5
Somando as duas parcelas obtemos a função resultante da integral interna (função de
só):
Agora precisamos integrar essa expressão em
de
a
:
Passo 6
Integramos termo a termo:
Passo 7
Somando as contribuições:
Como verificação rápida (opcional): poderia separar desde o início a integral dupla em
e calcular cada uma usando fatoração por constantes e integrais simples; chegaria-se ao mesmo resultado
.