Resolva as seguintes integrais duplas iteradas:
\int_{0}^{2} \int_{1}^{3}(2 x+3 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{2}\int_{1}^{3}(2x+3y)\,dy\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é f(x,y)=2x+3y.
  • A integração é sobre o retângulo R=[0,2]\times[1,3], com y integrado primeiro de 1 a 3 e depois x de 0 a 2.
  • Objetivo: obter o valor numérico da integral iterada acima.

Passo 2

Por que podemos integrar assim (breve explicação teórica e regras usadas):
  • A função f(x,y)=2x+3y é contínua em todo R. Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla sobre um retângulo pode ser feita como uma integral iterada; isto é, podemos calcular primeiro a integral em y e depois em x.
  • Usarei também duas propriedades básicas de integrais:
    1. Linearidade: \int (a\cdot g + b\cdot h)=a\int g + b\int h.
    2. Ao integrar em relação a y, x é tratado como constante (e vice-versa).
  • Fórmulas que vou usar:
    • Regra do coeficiente constante: \int a\,dy = a y se a não depende de y.
    • Regra do poder: \int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2}.
      Essas fórmulas servem para integrar polinômios de forma direta.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{3}(2x+3y)\,dy.
Trato 2x como constante em relação a y. Aplicando linearidade e as regras acima:
\int_{1}^{3}(2x+3y)\,dy = \int_{1}^{3}2x\,dy + \int_{1}^{3}3y\,dy.

Passo 4

Calcular cada parcela separadamente:
  • Para a primeira parcela,
\int_{1}^{3}2x\,dy = 2x\int_{1}^{3}1\,dy = 2x\bigl[y\bigr]_{1}^{3} = 2x(3-1)=4x.
  • Para a segunda parcela,
\int_{1}^{3}3y\,dy = 3\int_{1}^{3}y\,dy = 3\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{3} = 3\cdot\tfrac{1}{2}(3^{2}-1^{2}).
Calcule o interior: 3^{2}-1^{2}=9-1=8. Então
3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 8 = 3\cdot 4 = 12.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtemos a função resultante da integral interna (função de x só):
\int_{1}^{3}(2x+3y)\,dy = 4x + 12.
Agora precisamos integrar essa expressão em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(4x+12)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2}4x\,dx = 4\int_{0}^{2}x\,dx = 4\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{2} = 4\cdot\tfrac{1}{2}(2^{2}-0^{2}) = 4\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 4 = 4\cdot 2 = 8.
\int_{0}^{2}12\,dx = 12\int_{0}^{2}1\,dx = 12\bigl[x\bigr]_{0}^{2} = 12(2-0)=24.

Passo 7

Somando as contribuições:
8 + 24 = 32.
Como verificação rápida (opcional): poderia separar desde o início a integral dupla em
\iint_{R}2x\,dA + \iint_{R}3y\,dA
e calcular cada uma usando fatoração por constantes e integrais simples; chegaria-se ao mesmo resultado 32.

Resposta

32

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