Exercício 7. Para k constante, encontre a solução de
l2 y^prime prime(t)+8 y(t)=k de

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução da EDO forçada por impulso:
– Equação: 2 y’’(t)+8 y(t)=k δ(t)
– Condições iniciais: y(0)=10, y’(0)=0
Conteúdo: EDO linear com delta de Dirac → usar condição de salto na derivada e depois resolver a homogênea para t>0.

Passo 2

Para achar o salto em y’(t) em t=0, integramos de –ε a +ε:
integral-varepsilon^+varepsilonl(2y''(t)+8y(t)r),dt = kintegral-varepsilon^+varepsilonde
O termo com y dá 8integral y(t)dtto0 quando varepsilonto0. Logo:
2l(y'(0+)-y'(0-)r)=k
Como y’(0-)=0, obtemos
y'(0+)=k2

Passo 3

Para t>0 a equação fica homogênea: y’’+4y=0. A solução geral é
y(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Aplicando as condições em t=0+:
– y(0+)=A=10
– y’(t)=−2A\sin(2t)+2B\cos(2t) ⇒ y’(0+)=2B=\tfrac{k}{2} ⇒ B=\tfrac{k}{4}.

Passo 4

Substituindo A e B, concluímos que a solução para t>0 é
y(t)=10cos(2t)+k4sin(2t)
Para t<0, não há impulso e y satisfaz a homogênea com y(0-)=10, y’(0-)=0, então y(t)=10\cos(2t).

Resposta

A solução completa é
y(t)= 10cos(2t), & t<0, 10cos(2t)+dfrack4sin(2t), & t>0

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