Exercício 7. Para
constante, encontre a solução de
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução da EDO forçada por impulso:
– Equação: 2 y’’(t)+8 y(t)=k δ(t)
– Condições iniciais: y(0)=10, y’(0)=0
Conteúdo: EDO linear com delta de Dirac → usar condição de salto na derivada e depois resolver a homogênea para t>0.
– Equação: 2 y’’(t)+8 y(t)=k δ(t)
– Condições iniciais: y(0)=10, y’(0)=0
Conteúdo: EDO linear com delta de Dirac → usar condição de salto na derivada e depois resolver a homogênea para t>0.
Passo 2
Para achar o salto em y’(t) em t=0, integramos de –ε a +ε:
O termo com y dá
quando
. Logo:
Como y’(0-)=0, obtemos
Passo 3
Para t>0 a equação fica homogênea: y’’+4y=0. A solução geral é
Aplicando as condições em t=0+:
– y(0+)=A=10
– y’(t)=−2A\sin(2t)+2B\cos(2t) ⇒ y’(0+)=2B=\tfrac{k}{2} ⇒ B=\tfrac{k}{4}.
– y(0+)=A=10
– y’(t)=−2A\sin(2t)+2B\cos(2t) ⇒ y’(0+)=2B=\tfrac{k}{2} ⇒ B=\tfrac{k}{4}.
Passo 4
Substituindo A e B, concluímos que a solução para t>0 é
Para t<0, não há impulso e y satisfaz a homogênea com y(0-)=10, y’(0-)=0, então y(t)=10\cos(2t).
Resposta
A solução completa é