Exercício 3. Usando a derivada da transformada de Laplace, calcule:
Lt cosh (a t)

Passo 1

O exercício pede para calcular a transformada de Laplace de tcosh(at) usando a propriedade da derivada da transformada. O conteúdo envolve transformada de Laplace e a regra Lt f(t) = -dds[Lf(t)]. Vamos precisar primeiro do resultado de Lcosh(at) e depois aplicar a derivada em relação a s.

Passo 2

Nós sabemos que a transformada de Laplace de cosh(at) é dada por
Lcosh(at) = ss^2 - a^2,

Passo 3

Pela propriedade da derivada da transformada, temos
Ltcosh(at) = -ddsl[Lcosh(at)r] = -ddsl(ss^2 - a^2r),

Passo 4

Agora calculamos a derivada em s:
ddsl(ss^2 - a^2r) = (s^2 - a^2) - scdot 2s(s^2 - a^2)^2 = -s^2 - a^2(s^2 - a^2)^2,

Passo 5

Multiplicando por -1 para concluir a propriedade, obtemos
Ltcosh(at) = --s^2 - a^2(s^2 - a^2)^2 = s^2 + a^2(s^2 - a^2)^2,

Resposta

Ltcosh(at) = s^2 + a^2(s^2 - a^2)^2

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