Nos problemas de 01 a 09 Encontre a solução geral para a equação diferncial dada, determine o intervalo na qual a solução geral é definida:
x d y=(x sen y-y) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e variáveis misturadas. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente aquelas que podem ser tornadas exatas usando um fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação e encontrar esse fator para chegar à solução geral e também determinar o intervalo onde essa solução vale.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Vamos reorganizar tudo para deixar na forma padrão x , dy = (x sen y - y) , dx :

Passo 3

Agora, identificamos as funções M = - (x sen y - y) e N = x :
Para ver se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = - (x cos y - 1)
partial Npartial x = 1
Percebe que:
partial Mpartial y neq partial Npartial x
Então, a equação não é exata. Mas calma, nem tudo está perdido!

Passo 5

Precisamos encontrar um fator integrante que multiplica toda a equação para torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de mu(y) = e^integral P(y) , dy , ou seja, P(y) = partial Mpartial y - partial Npartial xN = -x cos yx = -cos y . A fórmula para isso é:
mu(y) = e^-sen y
onde
Então,

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação está exata, o que significa que existe uma função potencial e^-sen y cdot x , dy - e^-sen y (x sen y - y) , dx = 0 tal que:

Passo 7

Integrando Phi(x, y) = -integral e^-sen y (x sen y - y) , dx em relação a Phi(x, y) = -e^-sen y ( x^2 sen y2 - yx ) + h(y) :
Agora, derivamos e^-sen y x = -e^-sen y ( x^2 cos y2 - x ) + h'(y) em relação a Phi(x, y) = -e^-sen y ( x^2 sen y2 - yx ) = C e igualamos a :
Resolviendo para , percebemos que é constante. Assim, a função potencial fica:

Passo 8

Finalmente, isolamos a constante e^-sen y ( x^2 sen y2 - yx ) = C para obter a solução geral:
Podemos também reorganizar para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde x^2 sen y2 - yx = C e^sen y é uma constante real. A solução está definida para todos os e de modo que seja finito, ou seja, para todo .

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