Nos problemas de 01 a 09 Encontre a solução geral para a equação diferncial dada, determine o intervalo na qual a solução geral é definida:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e variáveis misturadas. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente aquelas que podem ser tornadas exatas usando um fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação e encontrar esse fator para chegar à solução geral e também determinar o intervalo onde essa solução vale.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Vamos reorganizar tudo para deixar na forma padrão
:
Passo 3
Agora, identificamos as funções
e
:
Para ver se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Percebe que:
Então, a equação não é exata. Mas calma, nem tudo está perdido!
Passo 5
Precisamos encontrar um fator integrante que multiplica toda a equação para torná-la exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
. A fórmula para isso é:
onde
Então,
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação está exata, o que significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolviendo para
, percebemos que
é constante. Assim, a função potencial fica:
Passo 8
Finalmente, isolamos a constante
para obter a solução geral:
Podemos também reorganizar para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real. A solução está definida para todos os
e
de modo que seja finito, ou seja, para todo
.